3 Se dan $n^2$ puntos en el plano, tales que no hay tres de ellos colineales, donde $n \geq 4$ es el entero positivo de la forma $3k+1$ . ¿Cuál es el número mínimo de segmentos de conexión entre los puntos, tal que para cada $n$ -ple de puntos podamos encontrar cuatro puntos que estén todos conectados entre sí? Propuesto por Alexander Ivanov y Emil Kolev

4 Sea $I$ el incentro de un triángulo no equilátero $ABC$ y sean $T_1$ , $T_2$ , y $T_3$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que el ortocentro del triángulo $T_1T_2T_3$ se encuentra sobre la recta $OI$ , donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ . Propuesto por Georgi Ganchev

5 Halle todos los pares $(b,c)$ de enteros positivos, tales que la sucesión definida por $a_1=b$ , $a_2=c$ y $a_{n+2}= \left| 3a_{n+1}-2a_n \right|$ para $n \geq 1$ tenga solo un número finito de términos compuestos. Propuesto por Oleg Mushkarov y Nikolai Nikolov

6 Halle el menor número $k$ , tal que $ \frac{l_a+l_b}{a+b}<k$ para todos los triángulos con lados $a$ y $b$ y bisectrices $l_a$ y $l_b$ correspondientes a ellos, respectivamente. Propuesto por Sava Grodzev, Svetlozar Doichev, Oleg Mushkarov y Nikolai Nikolov

1 Considere la sucesión $\{a_n\}$ tal que $a_0=4$ , $a_1=22$ , y $a_n-6a_{n-1}+a_{n-2}=0$ para $n\ge2$ . Demuestre que existen sucesiones $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ de enteros positivos tales que \[ a_n=\frac{y_n^2+7}{x_n-y_n} \] para todo $n\ge0$ .

2 Suponga que $ABCD$ es un paralelogramo tal que $DAB>90$ . Sea $H$ un punto sobre $AD$ tal que $BH$ es perpendicular a $AD$ . Sea $M$ el punto medio de $AB$ . Sea $K$ el punto de intersección de la recta $DM$ con la circunferencia circunscrita de $ADB$ . Demuestre que $HKCD$ es concíclico.

3 Dada una permutación $(a_{1}, a_{1},...,a_{n})$ de los números $1, 2,...,n$ , se pueden intercambiar dos "bloques" consecutivos cualesquiera; es decir, se puede transformar ( $a_{1}, a_{2},...,a_{i}$ , $\underbrace {a_{i+1},... a_{i+p},}_{A} $ $ \underbrace{a_{i+p+1},...,a_{i+q},}_{B}...,a_{n}) $ en $ (a_{1}, a_{2},...,a_{i},$ $ \underbrace {a_{i+p+1},...,a_{i+q},}_{B} $ $ \underbrace {a_{i+1},... a_{i+p}}_{A}$ $,...,a_{n}) $ intercambiando los "bloques" $A$ y $B$ . Halle el menor número de tales cambios necesarios para transformar $(n, n-1,...,1)$ en $(1,2,...,n)$

1 Sea $n \geq 2$ un entero dado. En cada punto $(i, j)$ con $i, j \in\mathbb{ Z}$ escribimos el resto de $i+j$ módulo $n$ . Halle todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que el rectángulo con vértices $(0, 0)$ , $(a, 0)$ , $(a, b)$ , $(0, b)$ tenga las siguientes propiedades: (i) los restos $0, 1, \ldots , n-1$ escritos en sus puntos interiores aparecen la misma cantidad de veces; (ii) los restos $0, 1, \ldots , n -1$ escritos en sus puntos de la frontera aparecen la misma cantidad de veces.

2 Halle todos los valores reales $t$ para los cuales existen números reales $x$ , $y$ , $z$ que satisfacen : $3x^2 + 3xz + z^2 = 1$ , $3y^2 + 3yz + z^2 = 4$ , $x^2 - xy + y^2 = t$ .

1 En el plano de coordenadas, un conjunto de $2000$ puntos $\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), . . . , (x_{2000}, y_{2000})\}$ se llama bueno si $0\leq x_i \leq 83$ , $0\leq y_i \leq 83$ para $i = 1, 2, \dots, 2000$ y $x_i \not= x_j$ cuando $i\not=j$ . Halle el mayor entero positivo $n$ tal que, para cualquier conjunto bueno, el interior y la frontera de algún cuadrado unitario contengan exactamente $n$ de los puntos del conjunto en su interior o en su frontera.