2 Dado un entero positivo \(n \ge 2\), sean \(\mathcal{P}\) y \(\mathcal{Q}\) dos conjuntos, cada uno formado por \(n\) puntos en el espacio tridimensional. Supón que estos \(2n\) puntos son distintos. Demuestra que es posible etiquetar los puntos de \(\mathcal{P}\) como \(P_1,P_2,\dots,P_n\) y los puntos de \(\mathcal{Q}\) como \(Q_1,Q_2,\dots,Q_n\) de modo que para cualesquiera índices \(i\) y \(j\), las bolas de diámetros \(P_iQ_i\) y \(P_jQ_j\) tengan al menos un punto en común.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\omega$ su circunferencia circunscrita y $O$ su circuncentro. La altura desde $A$ interseca a $\omega$ en un punto $D \ne A$ y el segmento $AC$ interseca a la circunferencia circunscrita de $OCD$ en un punto $E \ne C$. Finalmente, sea $M$ el punto medio de $BE$. Muestra que $DE$ es paralelo a $OM$.

4 Sea $p$ un número primo fijo. Encuentra todos los enteros $n \ge 1$ con la siguiente propiedad: Se pueden emparejar los divisores positivos de $n$ en pares $(d,d')$ que cumplan $d<d'$ y $p \mid \left\lfloor \frac{d'}{d}\right\rfloor$.

1 Determina todos los números enteros $x, y$ y $n$ tales que: $$3 (x^n - y^n) = 1977$$

2 Sea $n$ un número natural. Determina todos los números reales $x_1, x_2,..., x_n$ tales que: $$x_1^{2n} + (x_1x_2)^{2n} + ... + (x_1x_2 ... x_n)^{2n} = 1$$ $$x_1^{2n+1} + (x_1x_2)^{2n+1} + ... + (x_1x_2 ... x_n)^{2n+1} = 1$$

Se tiene una matriz cuadrada con números enteros y $n = 1977$ filas. Los elementos de la matriz se denotan por $a_{ij}$. En cada fila hay exactamente un elemento igual a $1$ y uno igual a $-1$, y todos los términos son distintos. Sea $p_{ij}$ el producto de todos los elementos de la $i$-ésima fila y los elementos de la $j$-ésima columna, donde el elemento $a_{ij}$ se toma solo una vez. Demuestra que la suma de todos los $p_{ij}$ no es igual a $1$.

4 Sea $n$ un número natural y $a \ge 2$. Demuestra que: $$\sqrt{1 +\sqrt{a}} +\sqrt{1 +\sqrt{a +\sqrt{a^2}}} +... +\sqrt{1 +\sqrt{a +\sqrt{... + \sqrt{a^n}}}} < an$$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones sobre $R \times R \times R$ donde $a = \frac{5z}{1+z}$ $$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + a^2y + z = 1 \\ x + ay + az = 1 \end{cases}$$

9.2 En un plano cartesiano se dibuja una parábola $y = x^2$. Para un $k > 0$ dado, consideramos todos los trapecios inscritos en esta parábola con bases paralelas al eje x, y el producto de las longitudes de sus bases es exactamente $k$. Demuestra que las diagonales de todos esos trapecios comparten un punto común.

2 Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en $\{0, 1\}$. Supón que $a, b$ son enteros no nulos tales que para todo $f \in \mathcal{P}$ con $f(a)\neq 0$, se tiene que $f(a) \mid f(b)$. Demuestra que $a=b$. Propuesto por Shashank Ingalagavi y Krutarth Shah