6 Demuestre que la ecuación $ y^{37}\equiv x^3+11 \pmod p$ es resoluble para todo primo $ p$ , donde $ p\leq100$ .

1 Sea $ f: Z \to Z$ tal que $ f(1) = 1, f(2) = 20, f(-4) = -4$ y $ f(x+y) = f(x) +f(y)+axy(x+y)+bxy+c(x+y)+4 \forall x,y \in Z$ , donde $ a,b,c$ son constantes. (a) Halle una fórmula para $ f(x)$ , donde $ x$ es cualquier entero. (b) Si $ f(x) \geq mx^2+(5m+1)x+4m$ para todo entero no negativo $ x$ , halle el mayor valor posible de $ m$ .

3 Demuestre que hay infinitos primos $ p$ tales que el número total de soluciones mód $ p$ de la ecuación $ 3x^{3}+4y^{4}+5z^{3}-y^{4}z \equiv 0$ es $ p^2$

4 Dos circunferencias $ C_1,C_2$ de radios distintos están dadas en el plano y son tangentes entre sí exteriormente en $ T$ . Considere puntos cualesquiera $ A\in C_1$ y $ B\in C_2$ , ambos distintos de $ T$ , tales que $ \angle ATB = 90^{\circ}$ . (a) Demuestre que todas esas rectas $ AB$ son concurrentes. (b) Halle el lugar geométrico de los puntos medios de todos esos segmentos $ AB$ .

1 Sean $ \alpha_1$ , $ \alpha_2$ , $ \ldots$ , $ \alpha_{2008}$ números reales. Halle el valor máximo de \[ \sin\alpha_1\cos\alpha_2 + \sin\alpha_2\cos\alpha_3 + \cdots + \sin\alpha_{2007}\cos\alpha_{2008} + \sin\alpha_{2008}\cos\alpha_1\]

2 Halle el número total de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} a^2+bc\equiv a\pmod {37}\\ b(a+d)\equiv b\pmod {37}\\ c(a+d)\equiv c\pmod{37}\\ bc+d^2\equiv d\pmod{37}\\ ad-bc\equiv 1\pmod{37}\end{cases}\]

3 Sea $ ABCDE$ un pentágono convexo arbitrario. Suponga que $ BD\cap CE = A'$ , $ CE \cap DA = B'$ , $ DA\cap EB = C'$ , $ EB\cap AC = D'$ y $ AC \cap BD = E'$ . Suponga también que $ (ABD')\cap (AC'E) = A''$ , $ (BCE')\cap (BD'A) = B''$ , $ (CDA')\cap (CE'B) = C''$ , $ (DEB')\cap DA'C = D''$ y $ (EAC')\cap (EB'D) = E''$ . Demuestre que $ AA''$ , $ BB''$ , $ CC''$ , $ DD''$ y $ EE''$ son concurrentes.

1 En una escuela hay $ 2008$ estudiantes. Los estudiantes son miembros de ciertos comités. Un comité tiene a lo sumo $ 1004$ miembros y cada dos estudiantes pertenecen a un comité común. (i) Determine el menor número posible de comités en la escuela. (ii) Si además se requiere que la unión de cualesquiera dos comités conste de a lo sumo $ 1800$ estudiantes, ¿seguirá siendo válida su respuesta en (i)?

2 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ los tres lados de un triángulo. Determine todos los valores posibles de \[ \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\]

2 Defina una $ k$-clique como un conjunto de $ k$ personas tal que cada par de ellas se conoce entre sí. En cierta fiesta, cada par de 3-cliques tiene al menos una persona en común, y no hay 5-cliques. Demuestre que hay dos o menos personas en la fiesta cuya partida no deja ninguna 3-clique.