12 Las circunferencias $k_1$ y $k_2$ se intersecan en los puntos $M$ y $N$ . La recta $\ell$ interseca a la circunferencia $k_1$ en los puntos $A$ y $C$ y a la circunferencia $k_2$ en los puntos $B$ y $D$ , de modo que los puntos $A, B, C$ y $D$ están sobre la recta $\ell$ en ese orden. Sea $X$ un punto de la recta $MN$ tal que el punto $M$ está entre los puntos $X$ y $N$ . Las rectas $AX$ y $BM$ se intersecan en el punto $P$ y las rectas $DX$ y $CM$ se intersecan en el punto $Q$ . Demuestre que $PQ \parallel \ell $ .

1 En Wonderland, el gobierno de cada país está formado por exactamente $a$ hombres y $b$ mujeres, donde $a$ y $b$ son números naturales fijos y $b > 1$ . Para mejorar las relaciones entre los países, se forman todos los grupos de trabajo posibles formados por exactamente un miembro del gobierno de cada país, al menos $n$ de los cuales son mujeres (donde $n$ es un entero no negativo fijo). La misma persona puede pertenecer a muchos grupos de trabajo. Halle todas las posibilidades de cuántos países puede haber en Wonderland, dado que el número de todos los grupos de trabajo es primo.

2 Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos para los cuales $a + b + c = 1$ . Demuestre que $$\frac{a^2}{b^3 + c^4 + 1}+\frac{b^2}{c^3 + a^4 + 1}+\frac{c^2}{a^3 + b^4 + 1} > \frac{1}{5}$$

3 Tres segmentos de recta, todos de longitud $1$ , forman una figura conexa en el plano. Dos segmentos diferentes cualesquiera solo pueden intersecarse en sus extremos. Halle el área máxima de la envolvente convexa de la figura.

4 En un triángulo acutángulo, los pies de las alturas trazadas desde los vértices $A$ y $B$ son $D$ y $E$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio del lado $AB$ . La recta $CM$ interseca nuevamente la circunferencia circunscrita de $CDE$ en el punto $P$ y la circunferencia circunscrita de $CAB$ en el punto $Q$ . Demuestre que $|MP| = |MQ|$ .

5 En Wonderland hay al menos $5$ ciudades. Algunas ciudades están conectadas directamente por carreteras o ferrocarriles. Cada ciudad está conectada con al menos otra ciudad y, para cualesquiera cuatro ciudades, existe alguna conexión directa entre al menos tres pares de ciudades entre esas cuatro. Al entrar en la red de transporte público de este país, el viajero debe insertar una moneda de oro en una máquina, lo que le permite usar una conexión directa para ir a la siguiente ciudad. Pero si el viajero continúa viajando desde alguna ciudad con el mismo medio de transporte que lo llevó hasta allí, y ha pagado una moneda de oro para llegar a esa ciudad, entonces ir a la siguiente ciudad no cuesta nada, sino que el viajero recupera la moneda que usó por última vez. En los demás casos debe pagar igual que al comenzar a viajar. Demuestre que es posible ir de cualquier ciudad a cualquier otra usando a lo sumo $2$ monedas de oro.

6 Halle todos los números naturales $n$ tales que la ecuación $x^2 + y^2 + z^2 = nxyz$ tiene soluciones en enteros positivos

1 Halle todos los números primos $p$ para los cuales se puede encontrar un entero positivo $m$ y enteros no negativos $a_0,a_1,...,a_m$ menores que $p$ tales que $$\begin{cases} a_0+a_1p+...+a_{m-1}p^{m-1}+a_{m}p^{m} = 2013 \\ a_0+a_1+...+a_{m-1}+a_{m} = 11\end{cases}$$

2 ¿Para qué enteros positivos $n \ge 3$ es posible marcar $n$ puntos de un plano de tal manera que, partiendo de un punto marcado y moviéndose en cada paso al punto marcado que sea el segundo más cercano al punto actual, se pueda recorrer todos los puntos marcados y volver al inicial? Para cada punto, el segundo punto marcado más cercano debe estar determinado de manera única.

3 Sean $x_1,..., x_n$ números reales no negativos, no todos ellos nulos. (i) Demuestre que $$1 \le \frac{\left(x_1+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{3}+...+\frac{x_n}{n}\right)(x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n)}{(x_1+x_2+x_3+...+x_n)^2} \le \frac{(n+1)^2}{4n}$$ (ii) Muestre que, para cada $n > 1$ , ambas desigualdades pueden cumplirse como igualdades.