2 Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos tales que $2ab$ divide a $a^2+b^2-a$ . Demuestre que $a$ es un cuadrado perfecto

3 Sea $AB$ un diámetro de la semicircunferencia $h$ . Sobre esta semicircunferencia hay un punto $C$ , distinto de los puntos $A$ y $B$ . El pie de la perpendicular trazada desde el punto $C$ al lado $AB$ es el punto $D$ . La circunferencia $k$ está fuera del triángulo $ADC$ y al mismo tiempo es tangente a la semicircunferencia $h$ y a los lados $AB$ y $CD$ . El punto de tangencia de $k$ con el lado $AB$ es el punto $E$ , con la semicircunferencia $h$ es el punto $T$ y con el lado $CD$ es el punto $S$ . $a)$ Demuestre que los puntos $A$ , $S$ y $T$ son colineales $b)$ Demuestre que $AC=AE$

4 Sea $A$ un conjunto de $65$ enteros con restos módulo $2016$ distintos dos a dos . Demuestre que existe un subconjunto $B=\{a,b,c,d\}$ del conjunto $A$ tal que $a+b-c-d$ es divisible por $2016$

1 Sean $a$ y $b$ números reales mayores que $1$ . Halle el valor máximo de $c \in \mathbb{R}$ tal que $$\frac{1}{3+\log _{a} b}+\frac{1}{3+\log _{b} a} \geq c$$

2 ¿Existe un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $2016^{2017}$ y cuyos otros dos lados son enteros positivos?

3 $h_a$ , $h_b$ y $h_c$ son las alturas, $t_a$ , $t_b$ y $t_c$ son las medianas de un triángulo acutángulo, $r$ es el radio de la circunferencia inscrita y $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Demuestre que $$\frac{t_a}{h_a}+\frac{t_b}{h_b}+\frac{t_c}{h_c} \leq 1+ \frac{R}{r}$$

4 Se da una circunferencia con centro en el origen del sistema de coordenadas y radio $2016$ . Sobre la circunferencia y en su interior hay $540$ puntos con coordenadas enteras tales que no hay tres de ellos colineales. Demuestre que existen dos triángulos con vértices en los puntos dados tales que tienen la misma área

1 Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2a_n}$ para $n \geq 1$ . Demuestre que $a)$ $n \leq a_n^2 < n + \sqrt[3]{n}$ $b)$ $\lim_{n\to\infty} (a_n-\sqrt{n})=0$

2 Halle todos los elementos $n \in A = \{2,3,...,2016\} \subset \mathbb{N}$ tales que: todo número $m \in A$ menor que $n$ y coprimo con $n$ debe ser un número primo

3 Una circunferencia de radio $R_1$ está inscrita en un ángulo agudo $\alpha$ . Una segunda circunferencia de radio $R_2$ es tangente a uno de los lados que forman el ángulo $\alpha$ en el mismo punto que la primera circunferencia e interseca al segundo lado en los puntos $A$ y $B$ , de modo que los centros de ambas circunferencias se encuentran dentro del ángulo $\alpha$ . Demuestre que $$AB=4\cos{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{(R_2-R_1)\left(R_1 \cos^2 \frac{\alpha}{2}+R_2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)}$$