Dado un entero positivo impar $n$ , demuestra que la media aritmética de las partes fraccionarias $\{\frac{k^{2n}}{p}\}, k=1,..., \frac{p-1}{2}$ es la misma para infinitos primos $p$ .

Para un entero positivo $n$ con factorización prima $n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ definamos $\lambda(n) = (-1)^{\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_k}$ . Defina $L(n)$ como la suma de $\lambda(x)$ sobre todos los enteros desde $1$ hasta $n$ . Defina $K(n)$ como la suma de $\lambda(x)$ sobre todos los enteros compuestos desde $1$ hasta $n$ . Para algún $N>1$ , sabemos que para todo $2\le n \le N$ , $L(n)\le 0$ . Demuestre que para este $N$ , para todo $2\le n \le N$ , $K(n)\ge 0$ . Mykhailo Shtandenko

4 Encuentra todos los enteros positivos \( k \) con la siguiente propiedad: Existe un entero \( a \) tal que \( (a+k)^{3}-a^{3} \) es un múltiplo de \( 2007 \) . Yimin

4 Demuestra que entre $20$ enteros positivos consecutivos existe un entero $d$ tal que para todo entero positivo $n$ se cumple la siguiente desigualdad $$n \sqrt{d} \left\{n \sqrt {d} \right \} > \dfrac{5}{2}$$ donde $\left \{x \right \}$ denota la parte fraccionaria del número real $x$ . La parte fraccionaria del número real $x$ se define como la diferencia entre el mayor entero que es menor o igual que $x$ y el número real $x$ . (Serbia)

3 Un comité de $3366$ críticos de cine está votando para los Oscar. Cada crítico votó por un solo actor y por una sola actriz. Después de la votación, se encontró que para todo entero positivo $n \in \left \{1, 2, \ldots, 100 \right \}$, hay algún actor o alguna actriz que fue votado exactamente $n$ veces. Demuestra que hay dos críticos que votaron por el mismo actor y la misma actriz. (Chipre)

1 Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos tales que $xy+yz+xz=3xyz$. Demuestra que \[ x^2y+y^2z+z^2x \ge 2(x+y+z)-3 \] y determina cuándo se da la igualdad. Reino Unido - David Monk

2 Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\omega$. Las rectas $AI, BI, CI$ cortan a $\omega$ por segunda vez en los puntos $D, E, F$, respectivamente. Las paralelas trazadas desde $I$ a los lados $BC, AC, AB$ cortan a $EF, DF, DE$ en los puntos $K, L, M$, respectivamente. Demuestra que los puntos $K, L, M$ son colineales. (Chipre)

1 Si ${a, b}$ y $c$ son números reales positivos, demuestra que \begin{align*} a ^ 3b ^ 6 + b ^ 3c ^ 6 + c ^ 3a ^ 6 + 3a ^ 3b ^ 3c ^ 3 &\ge{ abc \left (a ^ 3b ^ 3 + b ^ 3c ^ 3 + c ^ 3a ^ 3 \right) + a ^ 2b ^ 2c ^ 2 \left (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 \right)}. \end{align*} (Montenegro).

1 Demuestra que no existen números enteros positivos $x,y,z$ tales que $x^2+y^2=3z^2$. José

2 Un número especial es un entero positivo \( n \) para el cual existen enteros positivos \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) tales que \[ n = \frac {a^3 + 2b^3} {c^3 + 2d^3}. \] Demuestra que i) hay infinitos números especiales; ii) \( 2014 \) no es un número especial. Rumania