1 Sea $a_1, a_2,...$ una sucesión de números reales. Para cada entero positivo $n$ , denotamos $m_n =\frac{a_1 + a_2 +... + a_n}{n}$ . Se sabe que existe un número real $c$ tal que para cualesquiera enteros positivos distintos $i, j, k$ : $(i - j) m_k + (j - k) m_i + (k - i) m_j = c$ . Demuestre que la sucesión $a_1, a_2,..$ es aritmética

g7 Sea $ABC$ un triángulo, con $I$ el centro de la circunferencia inscrita, que toca los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $D$ y $E$ respectivamente. Sean $K$ y $L$ puntos sobre la circunferencia inscrita, tales que $DK$ y $EL$ son diámetros de la circunferencia inscrita. Si $AB + BC = 3AC$, demuestra que $A,C,I,K,L$ están sobre la misma circunferencia.

3 Se elige un punto $D$ sobre la prolongación del lado $AB$ más allá del punto $B$ del triángulo $ABC$ de modo que $AB=BD=AF$ , donde el punto $F$ es el punto medio de $BC$ . El segmento $DF$ se prolonga hasta intersecar el lado $AC$ en el punto $E$ . Demuestre que $CE=CF$ .

2 Sea $n$ un entero, $n \ge 3$ . Seleccione $n$ puntos en el plano, de los cuales no haya tres sobre la misma recta. Considere todos los triángulos con vértices en los puntos seleccionados y denote con la variable $\alpha$ el menor de todos los ángulos interiores de estos triángulos. Halle el mayor valor posible de $\alpha$ e identifique todas las colocaciones de los $n$ puntos seleccionados para las cuales se alcanza el máximo.

3 Los números primos $p$ y $q$ y el entero $a$ se eligen de modo que $p> 2$ y $a \not\equiv 1$ (mod $q$ ) , pero $a^p \equiv 1$ (mod $q$ ) . Demuestre que $(1 + a^1)(1 + a^2)...(1 + a^{p - 1})\equiv 1$ (mod $q$ ) .

1 En el pizarrón está escrito un cierto entero positivo $n$ . Andrey y Petya juegan al siguiente juego. Andrey halla todas las representaciones diferentes del número n como producto de potencias de números primos (con exponentes mayores que 1), en las que cada factor es mayor o igual que todos los anteriores. Petya halla todas las representaciones diferentes del número $n$ como producto de enteros mayores que $1$ , en las que cada factor es divisible por todos los factores anteriores. Gana quien halle más representaciones; si ambos hallan el mismo número de representaciones, el juego termina en empate. Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales el juego terminará en empate. Nota. La representación del número $n$ como producto formado por un único factor $n$ también se considera una representación.

2 En un triángulo acutángulo $ABC$ , las alturas se intersecan en el punto $H$ , y el punto $K$ es el pie de la altura trazada desde el vértice $A$ . La circunferencia $c$ que pasa por los puntos $A$ y $K$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. La recta que pasa por el punto $A$ y es paralela a la recta $BC$ interseca por segunda vez las circunferencias circunscritas de los triángulos $AHM$ y $AHN$ , respectivamente, en los puntos $X$ y $Y$ . Demuestre que $ | X Y | = | BC |$ .

3 Halle todas las funciones $f : R \to R$ que para todos $x, y \in R$ satisfacen $f(x^2)f(y^2) + |x|f(-xy^2) = 3|y|f(x^2y)$ .

4 Llamemos interesante a un número real $r$ si $r = a + b\sqrt2$ para algunos enteros a y b. Sean $A(x)$ y $B(x)$ funciones polinómicas con coeficientes interesantes para las cuales el término constante de $B(x)$ es $1$ , y sea $Q(x)$ una función polinómica con coeficientes reales tal que $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$ . Demuestre que los coeficientes de $Q(x)$ son interesantes.

5 Boeotia está compuesta por $3$ islas en las que se encuentran $2019$ pueblos en total. Cada ruta aérea conecta tres pueblos, uno en cada isla diferente, proporcionando conexiones entre cualesquiera dos de ellos en ambas direcciones. Dos pueblos cualesquiera del país están conectados por a lo sumo una ruta aérea. Halle el número máximo de rutas aéreas en el país.