2 Sea $n \geq 3$ un entero. Juan y María juegan al siguiente juego: Primero Juan etiqueta los lados de un $n$ - gono regular con los números $1, 2,\ldots, n$ en el orden que quiera, usando cada número exactamente una vez. Luego María divide este $n$ - gono en triángulos trazando $n-3$ diagonales que no se intersecan entre sí dentro del $n$ - gono. Todas estas diagonales se etiquetan con el número $1$. En cada uno de los triángulos se escribe el producto de los números en sus lados. Sea $S$ la suma de esos $n - 2$ productos. Determina el valor de $S$ si María quiere que el número $S$ sea lo más pequeño posible y Juan quiere que $S$ sea lo más grande posible, y si ambos toman las mejores decisiones posibles. Amir

3 En un plano, los círculos $\mathcal K_1$ y $\mathcal K_2$ con centros $I_1$ e $I_2$, respectivamente, se intersecan en dos puntos $A$ y $B$. Supón que $\angle I_1AI_2$ es obtuso. La tangente a $\mathcal K_1$ en $A$ interseca a $\mathcal K_2$ nuevamente en $C$, y la tangente a $\mathcal K_2$ en $A$ interseca a $\mathcal K_1$ nuevamente en $D$. Sea $\mathcal K_3$ el circuncírculo del triángulo $BCD$. Sea $E$ el punto medio del arco $CD$ de $\mathcal K_3$ que contiene a $B$. Las rectas $AC$ y $AD$ intersecan a $\mathcal K_3$ nuevamente en $K$ y $L$, respectivamente. Demuestra que la recta $AE$ es perpendicular a $KL$. Amir

4 Sean $k$ y $m$, con $k > m$, enteros positivos tales que el número $km(k^2 - m^2)$ es divisible por $k^3 - m^3$. Demuestra que $(k - m)^3 > 3km$.

1 Encuentra todas las funciones \(f : \mathbb R \to \mathbb R\) tales que la igualdad \[y^2f(x) + x^2f(y) + xy = xyf(x + y) + x^2 + y^2\] se cumple para todos \(x, y \in \Bbb R\), donde \(\Bbb R\) es el conjunto de los números reales. Amir

2 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que \[\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=2.\] Demuestra que \[\frac{\sqrt a + \sqrt b+\sqrt c}{2} \geq \frac{1}{\sqrt a}+\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt c}.\] Amir

3 Para un entero $n \geq 3$, sea $\mathcal M$ el conjunto $\{(x, y) | x, y \in \mathbb Z, 1 \leq x \leq n, 1 \leq y \leq n\}$ de puntos en el plano. ¿Cuál es el máximo número posible de puntos en un subconjunto $S \subseteq \mathcal M$ que no contenga tres puntos distintos que sean los vértices de un triángulo rectángulo?

4 Sea $n \geq 3$ un entero. En una competencia tipo MEMO, hay $3n$ participantes, se hablan $n$ idiomas, y cada participante habla exactamente tres idiomas distintos. Demuestra que se pueden elegir al menos $\left\lceil\frac{2n}{9}\right\rceil$ de los idiomas hablados de tal manera que ningún participante hable más de dos de los idiomas elegidos. Nota. $\lceil x\rceil$ es el entero más pequeño que es mayor o igual que $x$. Amir

5 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con los cinco lados de igual longitud. Las diagonales $AD$ y $EC$ se cortan en $S$ con $\angle ASE = 60^\circ$. Demuestra que $ABCDE$ tiene un par de lados paralelos. Amir

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Denota por $B_0$ y $C_0$ los pies de las alturas desde los vértices $B$ y $C$, respectivamente. Sea $X$ un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que la recta $BX$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXC_0$ y la recta $CX$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXB_0$. Muestra que la recta $AX$ es perpendicular a $BC$. Amir

7 Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos y ajenos con $A \cup B = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$. Demuestra que existen elementos $a \in A$ y $b \in B$ tales que el número $a^3 + ab^2 + b^3$ es divisible por $11$. Amir