3 En un $n$ -ágono $A_{1}A_{2}\ldots A_{n}$, cuyos ángulos interiores son todos iguales, las longitudes de los lados consecutivos satisfacen la relación \[a_{1}\geq a_{2}\geq \dots \geq a_{n}. \] Demuestra que $a_{1}=a_{2}= \ldots= a_{n}$.

4 Encuentra todas las soluciones $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ del sistema \[ x_5+x_2=yx_1 \] \[ x_1+x_3=yx_2 \] \[ x_2+x_4=yx_3 \] \[ x_3+x_5=yx_4 \] \[ x_4+x_1=yx_5 \] donde $y$ es un parámetro.

5 Demuestra que $\cos{\frac{\pi}{7}}-\cos{\frac{2\pi}{7}}+\cos{\frac{3\pi}{7}}=\frac{1}{2}$

6 Cinco estudiantes \( A, B, C, D, E \) participaron en un concurso. Una predicción decía que los concursantes terminarían en el orden \( ABCDE \). Esta predicción fue muy mala. De hecho, ningún concursante terminó en la posición predicha, y no hubo dos concursantes que se predijera que terminarían consecutivamente que realmente lo hicieran. Una segunda predicción tenía a los concursantes terminando en el orden \( DAECB \). Esta predicción fue mejor. Exactamente dos de los concursantes terminaron en los lugares predichos, y dos pares disjuntos de estudiantes que se predijo que terminarían consecutivamente realmente lo hicieron. Determina el orden en que terminaron los concursantes.

1 Encuentra el número natural más pequeño $n$ que tenga las siguientes propiedades: a) Su representación decimal tiene un 6 como último dígito. b) Si se borra el último dígito 6 y se coloca al frente de los dígitos restantes, el número resultante es cuatro veces más grande que el número original $n$.

2 Determina todos los números reales $x$ que satisfacen la desigualdad: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\dfrac{1}{2} \]

3 Considera el cubo \(ABCDA'B'C'D'\) (donde \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) son las bases superior e inferior, respectivamente, y las aristas \(AA', BB', CC', DD'\) son paralelas). El punto \(X\) se mueve a velocidad constante a lo largo del perímetro del cuadrado \(ABCD\) en la dirección \(ABCDA\), y el punto \(Y\) se mueve a la misma velocidad a lo largo del perímetro del cuadrado \(B'C'CB\) en la dirección \(B'C'CBB'\). Los puntos \(X\) y \(Y\) comienzan su movimiento al mismo instante desde las posiciones iniciales \(A\) y \(B'\), respectivamente. Determina y dibuja el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos \(XY\).

4 Resuelve la ecuación $\cos^2{x}+\cos^2{2x}+\cos^2{3x}=1$

5 Sobre el círculo \(K\) se dan tres puntos distintos \(A,B,C\). Construye (usando solo una regla y un compás) un cuarto punto \(D\) sobre \(K\) tal que se pueda inscribir un círculo en el cuadrilátero así obtenido.

6 Considera un triángulo isósceles. Sea $R$ el radio de su circunscrita y $r$ el radio de su inscrita. Demuestra que la distancia $d$ entre los centros de estos dos círculos es \[ d=\sqrt{R(R-2r)} \]