3 Sea $P$ un punto sobre la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Sean $D,E,F$ las reflexiones de $P$ respecto a la $A$ - mediana, la $B$ - mediana y la $C$ - mediana. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo formado por las mediatrices de $AD, BE, CF$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle ADP, \triangle BEP, \triangle CFP,$ y $\omega$ comparten un punto común.

4 Versión 1. Sea $n$ un entero positivo, y sea $N=2^{n}$ . Determine el número real más pequeño $a_{n}$ tal que, para todo real $x$ , \[ \sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x . \] Versión 2. Para todo entero positivo $N$ , determine el número real más pequeño $b_{N}$ tal que, para todo real $x$ , \[ \sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant b_{N}(x-1)^{2}+x . \]

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC>90$ , $CDA>90$ y $\angle DAB=\angle BCD$ . Denótese por $E$ y $F$ las reflexiones de $A$ respecto a las rectas $BC$ y $CD$ , respectivamente. Suponga que los segmentos $AE$ y $AF$ cortan a la recta $BD$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí. $\emph{Slovakia}$

6 Sea $\mathcal{S}$ un conjunto formado por $n \ge 3$ enteros positivos, ninguno de los cuales es suma de otros dos miembros distintos de $\mathcal{S}$ . Demuestre que los elementos de $\mathcal{S}$ pueden ordenarse como $a_1, a_2, \dots, a_n$ de modo que $a_i$ no divida a $a_{i - 1} + a_{i + 1}$ para todo $i = 2, 3, \dots, n - 1$ .

1 Sea $p>10$ un primo. Demuestre que existen enteros positivos $m,n$ con $m+n<p$ tales que $p$ divide a $5^m7^n -1$

2019.1.5 Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sea $D_1$ un punto sobre $EF$ tal que $DF = D_1 E$, donde $E$ está entre $D_1$ y $F$. De manera similar, sea $D_2$ un punto sobre $EF$ tal que $DE = D_2 F$, donde $F$ está entre $E$ y $D_2$. Sea la mediatriz de $DD_1$ que corta a $AB$ en $P$, y sea la mediatriz de $DD_2$ que corta a $AC$ en $Q$. Demuestra que $PQ$ biseca a $BC$.

2 Hay $100$ libros en una fila, numerados del $1$ al $100$ en algún orden. Una operación consiste en elegir tres libros y reordenarlos en cualquier orden entre ellos (los otros $97$ libros permanecen en el mismo lugar). Decimos que un libro está en la posición correcta si el libro $i$ está en la posición $i$ . Determine el menor entero $m$ tal que, para cualquier configuración inicial, podemos realizar $m$ operaciones y todos los libros quedarán en la posición correcta.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>CB$ y sea $M$ el punto medio del lado $AB$ . Denótese por $Q$ el punto medio del arco grande $AB$ que contiene a $C$ y por $B_1$ el punto en el interior de $AC$ tal que $BC=CB_1$ . $B_1Q$ toca a $BC$ en $E$ y $K$ es la intersección de $(BB_1M)$ y $(ABC)$ . Demuestre que $KC$ biseca a $B_1E$ .

4 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: para todas las ternas ( $a$ , $b$ , $c$ ) de números reales positivos existe una terna de enteros no negativos ( $l$ , $j$ , $k$ ) tal que $an^k$ , $bn^j$ y $cn^l$ son lados de un triángulo no degenerado

1 La sucesión infinita $a_0,a _1, a_2, \dots$ de enteros (no necesariamente distintos) tiene las siguientes propiedades: $0\le a_i \le i$ para todo entero $i\ge 0$ , y \[\binom{k}{a_0} + \binom{k}{a_1} + \dots + \binom{k}{a_k} = 2^k\] para todo entero $k\ge 0$ . Demuestre que todos los enteros $N\ge 0$ aparecen en la sucesión (es decir, para todo $N\ge 0$ , existe $i\ge 0$ con $a_i=N$ ) .