2 Halle el mínimo de $x+y+z$ donde $x$ , $y$ y $z$ son números reales tales que $x \geq 4$ , $y \geq 5$ , $z \geq 6$ y $x^2+y^2+z^2 \geq 90$

g8 Sea $ABC$ un triángulo con $AC> BC$. Un círculo que pasa por el punto $A$ y toca el lado $BC$ en el punto $B$, interseca la recta $AC$ en $D\ne A$. La recta $BD$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ nuevamente en el punto $E$. Sea $F$ el punto en la circunferencia circunscrita del triángulo $CDE$ tal que $DF = DB$. Demuestra que $F$ se encuentra en la recta $AE$ o en $BC$.

4 Sea $C$ una circunferencia con centro $O$ y radio $R$ . Desde el punto $A$ de la circunferencia $C$ trazamos una tangente $t$ a la circunferencia $C$ . Trazamos la recta $d$ que pasa por el punto $O$ , la cual interseca a la tangente $t$ en el punto $M$ y a la circunferencia $C$ en los puntos $B$ y $D$ ( $B$ se encuentra entre los puntos $O$ y $M$ ) . Si $AM=R\sqrt{3}$ , demuestre: $a)$ el triángulo $AMD$ es isósceles $b)$ el circuncentro de $AMD$ se encuentra sobre la circunferencia $C$

1 En el triángulo $ABC$ tal que $\angle ACB=90^{\circ}$ , sea el punto $H$ el pie de la perpendicular desde el punto $C$ al lado $AB$ . Muestre que la suma de los radios de las circunferencias inscritas de $ABC$ , $BCH$ y $ACH$ es $CH$

2 Halle el valor mínimo de $a \in \mathbb{R}$ tal que el sistema $$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=a-1$$ $$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}=a+1$$ tiene solución en el conjunto de los números reales

3 Una descomposición del número $n$ consiste en expresar $n$ como suma de enteros positivos (no necesariamente distintos). El orden de los sumandos es importante. Para todo entero positivo $n$ , muestre que el número de descomposiciones es $2^{n-1}$

4 Sean $x$ y $y$ enteros positivos tales que $\frac{x^2-1}{y+1}+\frac{y^2-1}{x+1}$ es entero. Demuestre que los números $\frac{x^2-1}{y+1}$ y $\frac{y^2-1}{x+1}$ son enteros

1 En el triángulo $ABC$ se cumple $\angle ACB = 90^{\circ}$ , $\angle BAC = 30^{\circ}$ y $BC=1$ . En el triángulo $ABC$ está inscrito un triángulo equilátero (cada lado del triángulo $ABC$ contiene un vértice del triángulo inscrito). Halle el menor valor posible del lado del triángulo equilátero inscrito

2 Sea $ABC$ un triángulo equilátero tal que la longitud de su altura es $1$ . Una circunferencia con centro en el mismo lado de la recta $AB$ que el punto $C$ y radio $1$ es tangente al lado $AB$ . La circunferencia rueda sobre el lado $AB$ . Mientras la circunferencia rueda, interseca constantemente los lados $AC$ y $BC$ . Demuestre que la longitud del arco de la circunferencia que se encuentra dentro del triángulo es constante

4 Problema 4 para el grado