2 Se da un triángulo $ABC$ en un plano. Trace las bisectrices de sus tres ángulos. Luego trace la recta que une los puntos donde las bisectrices de los ángulos $ABC$ y $ACB$ se encuentran con los lados opuestos del triángulo. Por el punto de intersección de esta recta con la bisectriz del ángulo $BAC$ , trace otra recta paralela a $BC$ . Sea esta recta la que interseca a $AB$ en $M$ y a $AC$ en $N$ . Demuestre que $2MN = BM+CN$ .

3 Si $n$ es un número natural, demuestre que el número $(n+1)(n+2)\cdots(n+10)$ no es un cuadrado perfecto.

1 Sean $a,b,c$ números reales tales que $a^2+b^2+c^2=1$ . Demuestre que \[\frac{a^2}{1+2bc}+\frac{b^2}{1+2ca}+\frac{c^2}{1+2ab} \ge \frac35\]

2 Los vértices del cuadrilátero convexo $ABCD$ y el punto de intersección $S$ de sus diagonales son puntos enteros del plano. Sea $P$ el área de $ABCD$ y $P_1$ el área del triángulo $ABS$ . Demuestre que $$\sqrt{P} \ge \sqrt{P_1}+\frac{\sqrt2}2$$

3 Sean $p$ y $q$ números primos distintos. Resuelva en enteros el siguiente sistema: \[\frac{z+ p}x+\frac{z-p}y= q,\\ \frac{z+ p}y -\frac{z-p}x= q.\]

1 Resuelva la siguiente ecuación en el conjunto de los enteros $x_{1}^4 + x_{2}^4 +...+ x_{14}^4=2016^3 - 1$ .

2 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sean $E$ , $F$ , $G$ y $H$ los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ , respectivamente. Si $BH \cap AC = I$ , $BD \cap EC = J$ , $AC \cap DF = K$ y $AG \cap BD = L$ , demuestre que el cuadrilátero $IJKL$ es un paralelogramo.

1 Determine todos los números primos de la forma $1 + 2^p + 3^p +...+ p^p$ donde $p$ es un número primo.

2 Las circunferencias $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Sean $t_{1}$ y $t_{2}$ las tangentes a $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ , respectivamente, en el punto $A$ . Sea $C$ la segunda intersección de $\omega_{1}$ y $t_{2}$ , y sea $D$ la segunda intersección de $\omega_{2}$ y $t_{1}$ . Los puntos $P$ y $E$ se encuentran sobre el rayo $AB$ , tales que $B$ está entre $A$ y $P$ , $P$ está entre $A$ y $E$ , y $AE = 2 \cdot AP$ . La circunferencia circunscrita a $\bigtriangleup BCE$ interseca nuevamente a $t_{2}$ en el punto $Q$ , mientras que la circunferencia circunscrita a $\bigtriangleup BDE$ interseca nuevamente a $t_{1}$ en el punto $R$ . Demuestre que los puntos $P$ , $Q$ , y $R$ son colineales.

5 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene el mismo número de dígitos que su número de factores primos distintos y la suma de estos factores primos distintos es igual a la suma de los exponentes de todos estos primos en la factorización de $n$ . Amir