B6 En el dominio $0\leq \theta \leq 2\pi:$ (a) Demuestra que $\sin^{2}\theta \cdot \sin 2\theta$ alcanza su máximo en $\frac{\pi}{3}$ y $\frac{4 \pi}{3}$ (y por tanto su mínimo en $\frac{2 \pi}{3}$ y $\frac{ 5 \pi}{3}$). (b) Muestra que $$| \sin^{2} \theta \cdot \sin^{3} 2\theta \cdot \sin^{3} 4 \theta \cdots \sin^{3} 2^{n-1} \theta \cdot \sin 2^{n} \theta |$$ alcanza su máximo en $\frac{4 \pi}{3}$ (el máximo también puede alcanzarse en otros puntos). (c) Deriva la desigualdad: $$ \sin^{2} \theta \cdot \sin^{2} 2\theta \cdots \sin^{2} 2^{n} \theta \leq \left( \frac{3}{4} \right)^{n}.$$

A1 Demuestra que $\binom{n}{m},\binom{n}{m+1},\binom{n}{m+2}$ y $\binom{n}{m+3}$ no pueden estar en progresión aritmética, donde $n,m>0$ y $n\geq m+3$.

A2 Sea $S$ un conjunto con una operación binaria $\ast$ tal que 1) $a \ast(a\ast b)=b$ para todos $a,b\in S$ . 2) $(a\ast b)\ast b=a$ para todos $a,b\in S$ . Demuestra que $\ast$ es conmutativa y da un ejemplo donde $\ast$ no sea asociativa.

A3 Se dice que una sucesión $(x_{i})$ tiene límite de Cesàro exactamente si existe $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{1}+\ldots+x_{n}}{n}$. Encuentra todas las funciones $f$ con valores reales definidas en el intervalo cerrado $[0, 1]$ tales que $(f(x_i))$ tiene límite de Cesàro si y solo si $(x_i)$ tiene límite de Cesàro.

A4 Demuestra que un círculo inscrito en un cuadrado tiene un perímetro mayor que cualquier otra elipse inscrita en el cuadrado.

A5 Demuestra que no existe un entero positivo $n>1$ tal que $n\mid2^{n} -1.$

A6 Sea \( f \) una función real integrable en el intervalo cerrado \([0, 1]\) tal que \[ \int_{0}^{1} x^{m}f(x)\,dx= \begin{cases} 0 & \text{para } m=0,1,\ldots,n-1;\\ 1 & \text{para } m=n. \end{cases} \] Demuestra que \(|f(x)|\geq 2^{n}(n+1)\) sobre un conjunto de medida positiva.

B1 Sea $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n (x-1)^{2n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$. Demuestra que no puede haber tres $a_n$ consecutivos iguales a $0$.

B2 Una partícula se mueve en línea recta con aceleración monótonamente decreciente. Parte del reposo y tiene velocidad $v$ a una distancia $d$ del inicio. ¿Cuál es el tiempo máximo que podría haber tardado en recorrer la distancia $d$?

B3 Un grupo $G$ tiene elementos $g,h$ que satisfacen $ghg=hg^{2}h$, $g^{3}=1$ y $h^n=1$ para algún entero impar $n$. Demuestra que $h=e$, donde $e$ es el elemento identidad.