Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2016 Problema 3
3 Halle todos los números primos $(p,q)$ tales que : $p^{3}+p=q^{2}+q$ Y_ou-ne_S
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2017 Problema 4
4 El líder del país de los Gnomos quiere imprimir billetes de $12$ denominaciones diferentes (cada una con un número entero) de modo que sea posible pagar cualquier cantidad de $1$ a $6543$ con estos billetes sin vuelto, usando un máximo de $8$ billetes. (Durante el pago se pueden usar varios billetes de la misma denominación). ¿Puede el líder de la tierra de los Gnomos lograrlo?
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2016 Problema 2
2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a un círculo. Sea $M$ un punto sobre el lado $AB$ . Sean $I_{1}$ , $I_{2}$ y $I_{3}$ los incentros de los triángulos $AMD$ , $CMD$ y $BMC$ respectivamente. Demuestre que $I_{1}I_{2}I_{3}M$ es circunscriptible.
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2016 Problema 2
2 Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC,$ $\angle CBA,$ y $\angle ACB$ cortan a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los puntos $M,N,$ y $K,$ respectivamente. Los segmentos $AB$ y $MK$ se cortan en el punto $P$ y los segmentos $AC$ y $MN$ se cortan en el punto $Q.$ Demuestre que $PQ\parallel BC$
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2015 Problema 4
4 Demuestre que no existen enteros $a$ y $b$ con las condiciones: i) $16a-9b$ es un número primo. ii) $ab$ es un cuadrado perfecto. iii) $a+b$ también es un cuadrado perfecto.
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2015 Problema 1
1 Sean $x,y$ y $z$ números reales no negativos que satisfacen la ecuación $x+y+z=xyz$ . Demuestre que $2(x^2+y^2+z^2)\geq3(x+y+z)$ .
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2015 Problema 2
2 Todas las letras de la palabra $VUQAR$ son diferentes y se eligen del conjunto $\{1,2,3,4,5\}$ . Halle todas las soluciones de la ecuación \[\frac{(V+U+Q+A+R)^2}{V-U-Q+A+R}=V^{{{U^Q}^A}^R}.\]
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2015 Problema 3
3 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB$ no es igual a $AC$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ . Sea $D$ el punto medio de $AH$ y $O$ el circuncentro del triángulo $BCH$ . Demuestre que $DAMO$ es un paralelogramo.
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2015 Problema 1
1 $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ y $a^2+b^2+c^2=48$ . Demuestre que \[a^2\sqrt{2b^3+16}+b^2\sqrt{2c^3+16}+c^2\sqrt{2a^3+16}\le24^2\]
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2015 Problema 2
2 Hay algunos números reales en el pizarrón (al menos dos). En cada paso elegimos dos de ellos, por ejemplo $a$ y $b$ , y luego los reemplazamos por $\frac{ab}{a+b}$ . Continuamos hasta que queda un solo número. Demuestre que el último número no depende del orden en que elegimos los números a eliminar.
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