4 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $\angle BAC = \angle ADC$ . Sea $M{}$ el punto medio de la diagonal $AC$ . El lado $AD$ contiene un punto $E$ tal que $ABME$ es un paralelogramo. Sea $N{}$ el punto medio del segmento $AE{}$ . Demuestre que la recta $AC$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $DMN$ en el punto $M{}$ .

5 Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todos los enteros positivos $n$ . Demuestre que $a_{2022}\leq 1$ .

6 En cada casilla de un jardín con forma de tablero de $2022 \times 2022$ , hay inicialmente un árbol de altura $0$ . Un jardinero y un leñador juegan por turnos el siguiente juego, comenzando el jardinero: el jardinero elige una casilla del jardín. Cada árbol de esa casilla y de todas las casillas circundantes (que son a lo sumo ocho) crece entonces una unidad. Luego el leñador elige cuatro casillas distintas del tablero. Cada árbol de altura positiva de esas casillas decrece entonces una unidad. Decimos que un árbol es majestuoso si su altura es al menos $10^6$ . Determine el mayor $K$ tal que el jardinero puede asegurar que eventualmente haya $K$ árboles majestuosos en el tablero, sin importar cómo juegue el leñador. ike.chen

1 Sea $a > 1$ un entero positivo y sea $d > 1$ un entero positivo coprimo con $a$ . Sea $x_1=1$ , y para $k\geq 1$ , defina $$x_{k+1} = \begin{cases} x_k + d &\text{if } a \text{ does not divide } x_k \\ x_k/a & \text{if } a \text{ divides } x_k \end{cases}$$ Halle, en términos de $a$ y $d$ , el mayor entero positivo $n$ para el cual existe un índice $k$ tal que $x_k$ es divisible por $a^n$ .

2 Sea $n$ un entero positivo. Halle todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $$P(x^2+x-n^2)=P(x)^2+P(x)$$ para todos los números reales $x$ .

3 Sea $n$ un entero positivo. Comenzamos con $n$ montones de piedras, cada uno con una sola piedra inicialmente. Se pueden realizar movimientos de la siguiente forma: elija dos montones, tome la misma cantidad de piedras de cada montón y forme un nuevo montón con esas piedras. Halle (en términos de $n$ ) el menor número de montones no vacíos que se puede obtener realizando una sucesión finita de movimientos de esta forma.

7 Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene dos alturas $BE$ y $CF$ . La circunferencia con diámetro $AC$ interseca el segmento $BE$ en el punto $P$ . Una circunferencia con diámetro $AB$ interseca el segmento $CF$ en el punto $Q$ y la prolongación de esta altura en el punto $Q'$ . Demuestre que $\angle PQ'Q = \angle PQB$ .

4 Una sucesión de $\pm 1$ es una sucesión de $2022$ números $a_1, \ldots, a_{2022},$ cada uno igual a $+1$ o $-1$ . Determine el mayor $C$ tal que, para cualquier sucesión de $\pm 1$ , existe un entero $k$ e índices $1 \le t_1 < \ldots < t_k \le 2022$ tales que $t_{i+1} - t_i \le 2$ para todo $i$ , y $$\left| \sum_{i = 1}^{k} a_{t_i} \right| \ge C.$$ ike.chen

5 Decimos que los enteros positivos distintos $n, m$ son $friends$ (amigos) si $\vert n-m \vert$ es un divisor de ${}n$ y de $m$ a la vez. Demuestre que, para cualquier entero positivo $k{}$ , existen $k{}$ enteros positivos distintos tales que cualesquiera dos de estos enteros son amigos.

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$ , sea $O$ su circuncentro, y sea $D$ un punto del segmento $BC$ . La recta que pasa por $D$ perpendicular a $BC$ interseca a las rectas $AO, AC,$ y $AB$ en $W, X,$ e $Y,$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se intersecan nuevamente en $Z \ne A$ . Demuestre que si $W \ne D$ y $OW = OD,$ entonces $DZ$ es tangente al círculo $AXY.$ ike.chen