3 Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los enteros positivos. Encuentra todos los números reales $c$ para los cuales existe una función $f:\mathbb N\to \mathbb N$ que satisface: para cualesquiera $x,a\in\mathbb N$, la cantidad $\frac{f(x+a)-f(x)}{a}$ es un entero si y solo si $a=1$; para todo $x\in \mathbb N$, tenemos $|f(x)-cx|<2023$. Propuesto por Sutanay Bhattacharya

Sean $k \geq 1$ y $N>1$ dos enteros. En un círculo se colocan $2N+1$ monedas, todas mostrando cara. Calvin y Hobbes juegan el siguiente juego. Calvin empieza y en su turno puede voltear cualquier moneda de cara a cruz. Hobbes en su turno puede voltear a lo más una moneda que esté junto a la moneda que Calvin acaba de voltear, de cruz a cara. Calvin gana si en algún momento hay $k$ monedas mostrando cruz después de que Hobbes haya hecho su movimiento. Determina todos los valores de $k$ para los cuales Calvin gana el juego. Propuesto por Tejaswi Navilarekallu

6. Euclides tiene una herramienta llamada ciclos que le permite hacer lo siguiente: Dados tres puntos marcados no colineales, trazar el círculo que pasa por ellos. Dados dos puntos marcados, trazar el círculo con ellos como extremos de un diámetro. Marcar cualquier punto de intersección de dos círculos trazados o marcar un punto nuevo sobre un círculo trazado. Demuestra que, dados dos puntos marcados, Euclides puede trazar un círculo centrado en uno de ellos y que pase por el otro, usando solo el ciclos. Propuesto por Rohan Goyal, Anant Mudgal y Daniel Hu

1 En un tablero de ajedrez infinitamente grande con casillas blancas y negras se selecciona una lista conexa de $1976$ casillas. Si se entiende la lista de casillas como un edificio y las casillas como habitaciones con puertas en los paneles laterales, entonces cada habitación debe ser alcanzable desde cada habitación, sin salir del edificio. Demuestra que al menos una cuarta parte de las casillas seleccionadas es blanca y que esta cota no puede mejorarse.

2 Dado un triángulo $ABC$. Determina todos los puntos $Q$ tales que $$max \,\, \{QA + QB, QA + QC, QB + QC\}$$ sea mínimo.

3 Sea $a = 1976$. ¿Para qué valores de $n$ el siguiente sistema de ecuaciones tiene solo la solución trivial? \[ \begin{cases} \cos^2\dfrac{a}{2} \cdot x_1 + \sin^2 \dfrac{a}{2} \cdot x_2 + \sin^2\dfrac{a}{2} \cdot x_3 + \cdots+\sin^2 \dfrac{a}{2} \cdot x_n = 0 \\ \cos^2a \cdot x_1 + \cos^2 a\cdot x_2 + \sin^2a \cdot x_3 + \cdots+\sin^2a \cdot x_n = 0 \\ \cos^2\dfrac{3a}{2} \cdot x_1 + \cos^2 \dfrac{3a}{2} \cdot x_2 + \cos^2\dfrac{3a}{2} \cdot x_3 + \cdots +\sin^2 \dfrac{3a}{2} \cdot x_n = 0 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \cos^2\dfrac{na}{2} \cdot x_1 + \cos^2 \dfrac{na}{2} \cdot x_2 + \cos^2\dfrac{na}{2} \cdot x_3 + \cdots+ \cos^2 \dfrac{na}{2} \cdot x_n = 0 \end{cases} \]

4 Demuestra que: Si $g$ es una función real no constante, definida en un intervalo $I\subset R$ tal que para $m \ge 2$, $g o g o g o ...o g = g^m$ es igual a la identidad, es decir, $g (g(...(g(x))... )) = x$ para todo $x \in I$, entonces $g(g(x)) = x$ para todo $x \in I$.

5. Sean $0 < a \le b \le c$ y $x, y, z \in [a,c]$. Demuestra que si $x + y + z = a + b + c$ y $xyz = abc$, entonces $(x,y,z)$ es una permutación de $(a,b,c)$.

6 Sean $n$ y $k$ números naturales y $a_1, a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $a_1 + a_2 +...+ a_n = 1$. Demuestra que $$ a^{-k}_1 + a^{-k}_2 + ...+ a^{-k}_n \ge n^{k+1}$$

4 Sean $a,b$ y $c$ números positivos con $a^2+b^2+c^2=3$. Demuestra que $a+b+c\ge 3\sqrt[5]{abc}$.