2 Sean $\omega,\omega_1,\omega_2$ tres circunferencias mutuamente tangentes tales que $\omega_1,\omega_2$ son tangentes externamente en $P$ , $\omega_1,\omega$ son tangentes internamente en $A$ , y $\omega,\omega_2$ son tangentes internamente en $B$ . Sean $O,O_1,O_2$ los centros de $\omega,\omega_1,\omega_2$ , respectivamente. Dado que $X$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a $AB$ , demuestre que $\angle{O_1XP}=\angle{O_2XP}$ . David Yang.

3 Sea $ABC$ un triángulo. Trace circunferencias $\omega_A$ , $\omega_B$ y $\omega_C$ tales que $\omega_A$ es tangente a $AB$ y $AC$ , y $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Sea $P_A$ el centro de similitud interna de $\omega_B$ y $\omega_C$ . Defina $P_B$ y $P_C$ de manera similar. Demuestre que $AP_A$ , $BP_B$ y $CP_C$ son concurrentes. Tom Lu.

4 Demuestre que para cualquier pentágono convexo $A_1A_2A_3A_4A_5$ , existe un único par de puntos $\{P,Q\}$ (posiblemente con $P=Q$ ) tal que $\measuredangle{PA_i A_{i-1}} = \measuredangle{A_{i+1}A_iQ}$ para $1\le i\le 5$ , donde los índices se toman $\pmod5$ y los ángulos son dirigidos $\pmod\pi$ . Calvin Deng.

1 Demuestre que $n^3-n-3$ no es un cuadrado perfecto para ningún entero $n$ . Calvin Deng.

2 Sea $p\ge5$ un primo. Demuestre que \[\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{p}{k}3^k\equiv 2^p - 1\pmod{p^2}.\] Victor Wang.

6 ¿Existen $1998$ enteros positivos distintos, tales que el producto de cualesquiera dos sea divisible por el cuadrado de su diferencia?

4 Sea $-2 < x_1 < 2$ un número real y defina $x_2, x_3, \ldots$ mediante $x_{n+1} = x_n^2-2$ para $n \geq 1$ . Suponga que ningún $x_n$ es $0$ y defina un número $A$ , $0 \leq A \leq 1$ , de la siguiente manera: El $n^{\text{th}}$ dígito después del punto decimal en la representación binaria de $A$ es un $0$ si $x_1x_2\cdots x_n$ es positivo y $1$ en caso contrario. Demuestre que $A = \frac{1}{\pi}\cos^{-1}\left(\frac{x_1}{2}\right)$ . Evan O' Dorney.

5 Dado un primo $p$ , sea $d(a,b)$ el número de enteros $c$ tales que $1 \leq c < p$ , y los restos al dividir $ac$ y $bc$ entre $p$ son ambos a lo sumo $\frac{p}{3}$ . Determine el valor máximo de \[\sqrt{\sum_{a=1}^{p-1}\sum_{b=1}^{p-1}d(a,b)(x_a + 1)(x_b + 1)} - \sqrt{\sum_{a=1}^{p-1}\sum_{b=1}^{p-1}d(a,b)x_ax_b}\] sobre todas las $(p-1)$ - tuplas $(x_1,x_2,\ldots,x_{p-1})$ de números reales. Brian Hamrick.

6 Para todos los números reales positivos $a,b,c$ , demuestre que \[\sqrt{\frac{a^4 + 2b^2c^2}{a^2+2bc}} + \sqrt{\frac{b^4+2c^2a^2}{b^2+2ca}} + \sqrt{\frac{c^4 + 2a^2b^2}{c^2 + 2ab}} \geq a + b + c.\] In-Sung Na.

7 Halle el menor número real $M$ con la siguiente propiedad: Dados nueve números reales no negativos con suma $1$ , es posible acomodarlos en las celdas de un cuadrado de $3 \times 3$ de modo que el producto de cada fila o columna sea a lo sumo $M$ . Evan O' Dorney.