6 Sea \( ABCD \) un cuadrilátero convexo sin pares de lados paralelos, tal que \( \angle ABC = \angle CDA \). Supón que las intersecciones de los pares de bisectrices adyacentes de \( ABCD \) forman un cuadrilátero convexo \( EFGH \). Sea \( K \) la intersección de las diagonales de \( EFGH \). Demuestra que las rectas \( AB \) y \( CD \) se cortan sobre la circunferencia circunscrita del triángulo \( BKD \).

7 Encuentra todos los tripletes $(x,y,z)$ de enteros positivos tales que \[ x^y + y^x = z^y \] \[ x^y + 2012 = y^{z+1} \]

1 Igual que junior

Para cualquier entero positivo $n $, sea $ d(n) $ el número de divisores positivos de $ n $ . ¿Existen enteros positivos $ a $ y $b $ tales que $ d(a)=d(b)$ y $ d(a^2 ) = d(b^2 ) $ , pero $ d(a^3 ) \ne d(b^3 ) $ ?

1 Sean $ a,b,c,d$ números reales positivos con $ a+b+c+d = 4$ . Demuestra que \[ a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\leq 4.\] Yimin

2 igual que los juniors

1 Demuestra que para cada número real $r>2$, existen exactamente dos o tres números reales positivos $x$ que satisfacen la ecuación $x^2=r\lfloor x \rfloor$.

Para un polinomio $P$ y un entero positivo $n$, define $P_n$ como el número de pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $a<b \leq n$ y $|P(a)|-|P(b)|$ es divisible por $n$. Determina todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tales que $P_n \leq 2021$ para todo entero positivo $n$.

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cíclico y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Sea $L$ el centro de la circunferencia tangente a los lados $AB$, $BC$ y $CD$, y sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ ni a $D$. Demuestra que el excentro del triángulo $BCE$ opuesto a $E$ se encuentra sobre la recta $LM$.

4 Dado un tablero de $32 \times 32$, ponemos un ratón (mirando hacia arriba) en la celda inferior izquierda y un trozo de queso en varias otras celdas. El ratón entonces comienza a moverse. Avanza hacia adelante, excepto que cuando llega a un trozo de queso, come una parte de él, gira a la derecha y continúa avanzando. Decimos que un subconjunto de celdas que contiene queso es bueno si, durante este proceso, el ratón prueba cada trozo de queso exactamente una vez y luego se cae del tablero. Muestra que: (a) Ningún subconjunto bueno consta de 888 celdas. (b) Existe un subconjunto bueno que consta de al menos 666 celdas.