El pentominó $X{}$ consta de cinco cuadrados $1\times1$ donde cuatro cuadrados son todos adyacentes al quinto. ¿Es posible recortar nueve pentominós de este tipo de un tablero de ajedrez de $8\times 8$ , no necesariamente cortando a lo largo de las líneas de la cuadrícula? (La figura muestra cómo recortar tres pentominós $X{}$ de este tipo.) Alexandr Gribalko

¿Existen 100 enteros positivos distintos tales que el cubo de uno de ellos sea igual a la suma de los cubos de todos los demás? Mikhail Evdokimov

El mismo que Otoño 2020, Nivel A Sénior

Hay un cuadrilátero convexo $ABCD$ tal que tres cualesquiera de sus lados no pueden formar un triángulo. Demuestre que: uno de sus ángulos no es mayor que $60^\circ{}$ ; uno de sus ángulos es al menos $120^\circ$ . Maxim Didin

Hay $n{}$ piedras en un montón. Dos jugadores juegan el juego tomando alternativamente, o bien 1 piedra del montón, o bien un número primo de piedras que divida al número actual de piedras del montón. El jugador que toma la última piedra gana. ¿Para cuáles $n{}$ tiene el primer jugador una estrategia para ganar sin importar cómo juegue el otro jugador? Fedor Ivlev

Hay un triángulo equilátero de lado $d{}$ y un punto $P{}$ tal que las distancias desde $P{}$ a los vértices del triángulo son números positivos $a, b, c$ . Demuestre que existen un punto $Q{}$ y un triángulo equilátero de lado $a{}$ , tales que las distancias desde $Q{}$ a los vértices de este triángulo son $b, c, d$ . Alexandr Evnin

El director de un zoológico ha comprado ocho elefantes numerados con $1, 2, \ldots , 8$ . Ha olvidado sus masas, pero recuerda que cada elefante, a partir del tercero, tiene una masa igual a la suma de las masas de los dos anteriores. De repente, el director escucha un rumor de que uno de los elefantes ha perdido masa. ¿Cómo puede el director realizar dos pesajes en una balanza de platillos sin pesas para encontrar a este elefante o asegurarse de que era solo un rumor? (Se sabe que ningún elefante ganó masa y que a lo sumo un elefante perdió masa.) Alexandr Gribalko

¿Existe un entero positivo $n{}$ tal que para cualesquiera reales $x{}$ e $y{}$ existan números reales $a_1, \ldots , a_n$ que satisfagan \[x=a_1+\cdots+a_n\text{ and }y=\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}?\] Artemiy Sokolov

Sea $M{}$ el punto medio del lado $BC$ del triángulo $ABC$ . La circunferencia $\omega$ pasa por $A{}$ , es tangente a la recta $BC$ en $M{}$ , interseca el lado $AB$ en el punto $D{}$ y el lado $AC$ en el punto $E{}$ . Sean $X{}$ e $Y{}$ los puntos medios de $BE$ y $CD$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $MXY$ es tangente a $\omega$ . Alexey Doledenok

Hay una fila de $100N$ sándwiches con jamón. Un niño y su gato juegan un juego. En una acción, el niño se come el primer sándwich de cualquiera de los extremos de la fila. En una acción, el gato o bien se come el jamón de un sándwich o bien no hace nada. El niño realiza 100 acciones en cada uno de sus turnos, y el gato hace solo 1 acción por turno; el niño comienza primero. El niño gana si el último sándwich que se come contiene jamón. ¿Es cierto que puede ganar para cualquier entero positivo $N{}$ sin importar cómo juegue el gato? Ivan Mitrofanov