1 Sean $I$ y $O$ el incentro y el circuncentro de $\triangle A{}BC$ , respectivamente. Sea la circunferencia inscrita $I$ tangente a $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $D, E,$ y $F$ . Sea $H$ la proyección de $D$ sobre $EF$ . Sean las rectas $AH$ y $O{}I$ que se intersecan en el punto $K$ , y sea $DK$ que interseca la circunferencia inscrita $I$ en otro punto $G$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle BG{}C$ es tangente a la circunferencia inscrita $I$ . Propuesto por Haiyang Zhang, estudiante de la Escuela Experimental Yaohua de Shenzhen, Provincia de Guangdong

4 Dado un número primo $p$ , sea $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ una función tal que para todo entero $x$ , $f(x + p) = f(x)$ , $f(x)^3 + f(x^3) \ge 2$ . Halle el mínimo valor posible de $f(1) + f(2) + \cdots + f(p)$ . Propuesto por Tianqin Li, Universidad de Pekín

1 Halle todos los enteros positivos $d$ tales que para todo divisor positivo $k$ de $d$ , existe un $x_k \in \{1, 2, \dots, d\}$ que satisface: $$x_k^{\varphi(k)} \equiv 1 \pmod d,$$ y para cualesquiera $k_i \neq k_j$ , $x_{k_i} \neq x_{k_j}$ . Propuesto por Songzheng Yan, estudiante de la Escuela Secundaria Changjun, Changsha, Provincia de Hunan

2 En $\triangle A{}BC$ , sea $AB > BC > CA$ . Sea la circunferencia inscrita tangente a $BC, CA, AB$ en los puntos $X, Y, Z$ , respectivamente. Sean las tres bisectrices internas de $\triangle AB{}C$ que intersecan a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$ , respectivamente. Sea $S$ el punto de Feuerbach de $\triangle A{}BC$ . Demuestre que $$\frac{SY}{BE} + \frac{SZ}{CF} = \frac{SX}{AD}.$$ Propuesto por Sheng Lu, Escuela Secundaria Superior de Lenguas Extranjeras Jiaxiang, Distrito Jinjiang, Chengdu https://i.postimg.cc/c4zDZPYq/tu-pian1.png

3 Sea $n$ un entero positivo impar. Dos jugadores, A y B, se turnan para elegir valores $a_1, a_2, \dots, a_{2n} \in [0, 1]$ . Sea $$S = \sum_{k=1}^{2n} (a_k - a_{k+1})^2$$ la puntuación del jugador A, donde $a_{2n+1} = a_1$ . Halle la puntuación máxima que el jugador A puede asegurarse. Propuesto por Yile Liu y Jiatong Zhang, de la Escuela Secundaria Xi'an Tie Yi

4 Sea $S$ el conjunto de todas las raíces de la unidad, y sea $A$ un subconjunto de $S$ . Para todo $x \in S$ , defina: $$R_A(x) = \left|\{(a, b) \mid a, b \in A, \frac{a}{b} = x\}\right|$$ Demuestre que para toda función $f: S \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$ , existe un subconjunto $A' \subseteq A$ tal que: $$\frac{1}{|A'|^2} \sum_{a, b \in A'} f\left(\frac{a}{b}\right) \le 2 \cdot \frac{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025} \cdot f(x)}{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025}}$$ y $$|A'| \ge \frac{1}{2} \cdot \frac{\sum_{x \in S} R_A(x)^{2025}}{|A|^{2025}}.$$ Propuesto por Lize Jin, Escuela Secundaria Xuejun de Hangzhou

1 El estudiante $Q$ presenta un examen que consta de \(4a+1\) preguntas. Cada pregunta tiene $4$ opciones, solo una de las cuales es correcta, y la probabilidad de acertar al azar es \(\frac{1}{4}\) . Por cada pregunta, si la responde correctamente obtiene $4$ puntos; si la responde incorrectamente obtiene $0$ puntos; si la deja sin responder obtiene $1$ punto. La puntuación mínima para la medalla de oro es \(4b+1\) puntos, donde \(a\) y \(b\) son enteros positivos que satisfacen \(4(4a+1) \geq 4b+1\) y \(b \geq \frac{4}{3}a\) . Si el estudiante $Q$ no puede resolver ninguna de las preguntas, ¿cuántas preguntas debería intentar responder (es decir, adivinar) para maximizar la probabilidad de ganar la medalla de oro? Propuesto por Pu Hongming

2 Demuestre que para todo número primo \(p\) , existen infinitos pares de enteros positivos \((m,n)\) tales que \([n\sqrt{p}] = \frac{3m^2 - m}{2}\) , donde \([x]\) denota la función parte entera. Propuesto por Qi Renrui

3 Un rectángulo se llama "rectángulo reticular" si y solo si sus lados son paralelos a los ejes de coordenadas y sus cuatro vértices son puntos reticulares. Dados infinitos rectángulos reticulares distintos, demuestre que se puede seleccionar una cantidad infinita de ellos de modo que o bien se cubren por pares (uno contiene a otro) o bien son disjuntos por pares. Propuesto por Qi Renrui

5 5. Nueve granjeros tienen un campo cuadriculado de $9 \times 9$ . Hay una valla a lo largo del borde del campo. Todo el campo está completamente cubierto de bayas (hay una baya en cada punto del campo, excepto en los puntos de la valla). Los granjeros dividieron el campo a lo largo de las líneas de la cuadrícula en 9 parcelas de igual área (cada parcela es un polígono), pero no demarcaron sus fronteras. Cada granjero cuida solo las bayas del interior de su propia parcela (no las de sus fronteras). Un granjero notará una pérdida solo si al menos dos bayas desaparecieron dentro de su parcela. Hay un cuervo que sabe todo lo anterior, excepto la ubicación de las fronteras de las parcelas. ¿Puede el cuervo llevarse 8 bayas del campo de modo que, con seguridad, ningún granjero lo note? Tatiana Kazitsina