10.4 Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ . Las rectas que pasan por $A$ y son paralelas a $BI, CI$ cortan a la mediatriz de $AI$ en los puntos $S, T$ respectivamente. Sea $Y$ el punto común de $BT$ y $CS$ , y sea $A^*$ un punto tal que $BICA^*$ es un paralelogramo. Demuestre que el punto medio del segmento $YA^*$ está sobre la circunferencia excrita del triángulo tangente al lado $BC$ .

10.3 Sean $BE$ y $CF$ las bisectrices de un triángulo $ABC$ . Demuestre que $2EF \leq BF + CE$ .

10.2 ¿Para cuál mayor $n$ existe un poliedro convexo con $n$ caras que tenga la siguiente propiedad: para cada cara existe un punto exterior al poliedro tal que las $n - 1$ caras restantes son visibles desde este punto?

10.1 Las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se cortan en el punto $P$ . La bisectriz del ángulo $ABD$ corta a $AC$ en el punto $E$ , y la bisectriz del ángulo $ACD$ corta a $BD$ en el punto $F$ . Demuestre que las rectas $AF$ y $DE$ se cortan sobre la mediana del triángulo $APD$ .

9.8 Sean los puntos $P$ y $Q$ isogonalmente conjugados con respecto a un triángulo $ABC$ . La recta $PQ$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $X$ . La reflexión de $BC$ respecto a $PQ$ corta a $AX$ en el punto $E$ . Demuestre que $A, P, Q, E$ son concíclicos.

9.7 Sean $P$ y $Q$ puntos arbitrarios sobre el lado $BC$ del triángulo ABC tales que $BP = CQ$ . Los puntos comunes de los segmentos $AP$ y $AQ$ con la circunferencia inscrita forman un cuadrilátero $XYZT$ . Halle el lugar geométrico de los puntos comunes de las diagonales de tales cuadriláteros.

9.6 La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ con centro en $I$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $A_1, B_1, $ y $C_1$ respectivamente. La circunferencia excrita con centro en $J$ es tangente al lado $AC$ en el punto $B_2$ y es tangente a las prolongaciones de $AB, BC$ en los puntos $C_2, A_2$ respectivamente. Sean las rectas $IB_2$ y $JB_1$ que se cortan en el punto $X$ , las rectas $IC_2$ y $JC_1$ que se cortan en el punto $Y$ , las rectas $IA_2$ y $JA_1$ que se cortan en el punto $Z$ . Demuestre que si uno de los puntos $X, Y, Z$ está sobre la circunferencia inscrita, entonces los otros dos puntos también están sobre ella.

9.1 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$; sean $A_1, B_1, C_1$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con $BC, CA, AB$ respectivamente; sean $E_A, E_B, E_C$ los puntos medios de $AH, BH, CH$ respectivamente. La circunferencia con centro en $E_A$ y que pasa por $A$ corta por segunda vez a la bisectriz del ángulo $A$ en $A_2$; los puntos $B_2, C_2$ se definen de manera análoga. Demuestre que los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ son semejantes.

8.8 Se recortan dos polígonos de cartón. ¿Es posible que, para cualquier disposición de estos polígonos en el plano, tengan o bien puntos interiores comunes o bien solo un número finito de puntos comunes en la frontera?

8.7 Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$ . Una recta $l \parallel AC$ corta a las rectas $AD$ , $BC$ , $AB$ , $CD$ en los puntos $X$ , $Y$ , $Z$ , $T$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $XYB$ y $ZTB$ se cortan por segunda vez en el punto $R$ . Demuestre que $R$ se encuentra sobre $BD$ .