2 Un conjunto de bolas contiene $ n$ bolas etiquetadas con los números $ 1,2,3,\ldots,n.$ Se nos dan $ k > 1$ de estos conjuntos. Queremos colorear las bolas con dos colores, negro y blanco, de tal manera que (a) las bolas etiquetadas con el mismo número tengan el mismo color, (b) cualquier subconjunto de $ k+1$ bolas con etiquetas (no necesariamente distintas) $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{k+1}$ que satisfagan la condición $ a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}= a_{k+1}$ , contenga al menos una bola de cada color. Encuentra, dependiendo de $ k$, el mayor número posible $ n$ que admita tal coloración. Yimin

A1 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. Demuestra que \[ \frac{a^2b(b-c)}{a+b}+\frac{b^2c(c-a)}{b+c}+\frac{c^2a(a-b)}{c+a} \ge 0. \]

A2 Sea la sucesión $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, donde $\mathbb{N}$ denota el conjunto de los números naturales, dada con $a_1=2$ y $a_{n+1}$ $=$ $a_n^2$ $-$ $a_n+1$. Encuentra el número real mínimo $L$, tal que para todo $k$ $\in$ $\mathbb{N}$ se cumpla \begin{align*} \sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i} < L \end{align*}

A3 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos. Demuestra que \[(\frac{a}{a+b})^{5}+(\frac{b}{b+c})^{5}+(\frac{c}{c+d})^{5}+(\frac{d}{d+a})^{5}\ge \frac{1}{8}\]

A4 Sea $n>2$ un entero positivo. Considera todos los números $S$ de la forma \begin{align*} S= a_1 a_2 + a_2 a_3 + \ldots + a_{k-1} a_k \end{align*} con $k>1$ y $a_i$ enteros positivos tales que $a_1+a_2+ \ldots + a_k=n$. Determina todos los números que se pueden representar de esta forma.

C1 En un torneo de fútbol, cada equipo juega exactamente un partido contra todos los demás. El ganador obtiene $3$ puntos, el perdedor obtiene $0$ y cada equipo obtiene $1$ punto en caso de empate. Se sabe que $n$ equipos ($n \geq 3$) participaron en el torneo y la clasificación final está dada por una progresión aritmética de los puntos, teniendo el último equipo solo $1$ punto. Demuestra que esta configuración es inalcanzable cuando $n=12$. Encuentra todos los valores de $n$ y todas las configuraciones cuando esto es posible.

C2 Un saltamontes salta en el plano desde un punto entero (punto con coordenadas enteras) a otro punto entero según las siguientes reglas: su primer salto es de longitud $\sqrt{98}$, su segundo salto es de longitud $\sqrt{149}$, su siguiente salto es de longitud $\sqrt{98}$, y así sucesivamente, alternando. ¿Cuál es el menor número impar de movimientos posible en el que el saltamontes podría regresar a su punto de partida?

C3 Una franja de ancho $w$ es el conjunto de todos los puntos que están sobre, o entre, dos rectas paralelas a distancia $w$ entre sí. Sea $S$ un conjunto de $n$ ( $n \ge 3$ ) puntos en el plano tal que cualesquiera tres puntos distintos de $S$ pueden ser cubiertos por una franja de ancho $1$ . Demuestra que $S$ puede ser cubierto por una franja de ancho $2$ .

C4 En las celdas de una tabla de $2010 \times 2010$ se escriben números enteros. Sumar $1$ a todos los números de una fila o de una columna se llama un movimiento. Decimos que una tabla está en equilibrio si se puede obtener, tras un número finito de movimientos, una tabla en la que todos los números sean iguales. Encuentra el mayor entero positivo $n$ para el cual existe una tabla en equilibrio que contenga los números $2^0, 2^1, \ldots , 2^n$. Para este $n$, encuentra el número máximo que puede estar contenido en una tabla así.

Un tren consta de $2010$ vagones que contienen monedas de oro, todas de la misma forma. Dos monedas cualesquiera tienen el mismo peso siempre que estén en el mismo vagón, y difieren en peso si están en vagones distintos. El peso de una moneda es uno de los reales positivos \begin{align*} m_1 <m_2 <\ldots <m_{2010} \end{align*} Cada vagón está marcado con una etiqueta que lleva uno de los números $m_1,m_2, \ldots , m_{2010}$ (los números en etiquetas distintas son diferentes). Un controlador dispone de una balanza de dos platillos (que solo permite comparar masas). Durante cada medición puede usar un número arbitrario de monedas de cualquiera de los vagones. La tarea del controlador es establecer: si todas las etiquetas indican correctamente el peso común de las monedas de su vagón o si existe al menos una etiqueta incorrecta. ¿Cuál es el número mínimo de mediciones que el controlador debe realizar para cumplir su tarea?