9 El trapecio $ABCD$ tiene lados $AB=92$, $BC=50$, $CD=19$ y $AD=70$, con $AB$ paralelo a $CD$. Un círculo con centro $P$ sobre $AB$ se traza tangente a $BC$ y $AD$. Dado que $AP=\frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos relativamente primos, encuentra $m+n$.

Considera la región \(A\) en el plano complejo que consiste en todos los puntos \(z\) tales que tanto \(\frac{z}{40}\) como \(\frac{40}{\overline{z}}\) tienen partes real e imaginaria entre \(0\) y \(1\), inclusive. ¿Cuál es el entero más cercano al área de \(A\)?

Las líneas $l_1$ y $l_2$ pasan ambas por el origen y forman ángulos en el primer cuadrante de $\frac{\pi}{70}$ y $\frac{\pi}{54}$ radianes, respectivamente, con el eje x positivo. Para cualquier línea $l$, la transformación $R(l)$ produce otra línea de la siguiente manera: $l$ se refleja en $l_1$, y la línea resultante se refleja en $l_2$. Sea $R^{(1)}(l)=R(l)$ y $R^{(n)}(l)=R\left(R^{(n-1)}(l)\right)$. Dado que $l$ es la línea $y=\frac{19}{92}x$, encuentra el menor entero positivo $m$ para el cual $R^{(m)}(l)=l$.

12 En un juego de Chomp, dos jugadores se turnan para morder un tablero de 5 por 7 cuadrados unitarios. Para dar una mordida, un jugador elige uno de los cuadrados restantes y luego elimina ("come") todos los cuadrados en el cuadrante definido por el borde izquierdo (extendido hacia arriba) y el borde inferior (extendido hacia la derecha) del cuadrado elegido. Por ejemplo, la mordida determinada por el cuadrado sombreado en el diagrama eliminaría el cuadrado sombreado y los cuatro cuadrados marcados con $\times.$ (Los cuadrados con dos o más bordes punteados ya fueron eliminados del tablero original en movimientos anteriores.) [asy] defaultpen(linewidth(0.7)); fill((2,2)--(2,3)--(3,3)--(3,2)--cycle, mediumgray); int[] array={5, 5, 5, 4, 2, 2, 2, 0}; pair[] ex = {(2,3), (2,4), (3,2), (3,3)}; draw((3,5)--(7,5)^^(4,4)--(7,4)^^(4,3)--(7,3), linetype("3 3")); draw((4,4)--(4,5)^^(5,2)--(5,5)^^(6,2)--(6,5)^^(7,2)--(7,5), linetype("3 3")); int i, j; for(i=0; i<7; i=i+1) { for(j=0; j<array[i]; j=j+1) { draw((i,j+1)--(i,j)--(i+1,j)); } draw((i,array[i])--(i+1,array[i])); if(array[i]>array[i+1]) { draw((i+1,array[i])--(i+1,array[i+1])); }} for(i=0; i<4; i=i+1) { draw(ex[i]--(ex[i].x+1, ex[i].y+1), linewidth(1.2)); draw((ex[i].x+1, ex[i].y)--(ex[i].x, ex[i].y+1), linewidth(1.2)); }[/asy] El objetivo del juego es hacer que el oponente tome la última mordida. El diagrama muestra uno de los muchos subconjuntos del conjunto de 35 cuadrados unitarios que pueden ocurrir durante el juego de Chomp. ¿Cuántos subconjuntos diferentes hay en total? Incluye el tablero completo y el tablero vacío en tu conteo.

13. El triángulo \(ABC\) tiene \(AB=9\) y \(BC: AC=40: 41\). ¿Cuál es el área más grande que puede tener este triángulo?

14 En el triángulo $ABC$, $A'$, $B'$ y $C'$ están sobre los lados $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente. Dado que $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes en el punto $O$, y que \[\frac{AO}{OA'}+\frac{BO}{OB'}+\frac{CO}{OC'}=92,\] encuentra \[\frac{AO}{OA'}\cdot \frac{BO}{OB'}\cdot \frac{CO}{OC'}.\]

15 Define un entero positivo \( n \) como cola factorial si existe algún entero positivo \( m \) tal que la representación decimal de \( m! \) termina con exactamente \( n \) ceros. ¿Cuántos enteros positivos menores que \( 1992 \) no son colas factoriales?

1 Encuentra $x^2+y^2$ si $x$ y $y$ son enteros positivos tales que \[xy+x+y = 71\qquad\text{y}\qquad x^2y+xy^2 = 880.\]

2. El rectángulo $ABCD$ tiene lados $\overline {AB}$ de longitud 4 y $\overline {CB}$ de longitud 3. Divide $\overline {AB}$ en 168 segmentos congruentes con puntos $A=P_0, P_1, \ldots, P_{168}=B$, y divide $\overline {CB}$ en 168 segmentos congruentes con puntos $C=Q_0, Q_1, \ldots, Q_{168}=B$. Para $1 \le k \le 167$, traza los segmentos $\overline {P_kQ_k}$. Repite esta construcción en los lados $\overline {AD}$ y $\overline {CD}$, y luego traza la diagonal $\overline {AC}$. Encuentra la suma de las longitudes de los 335 segmentos paralelos trazados.

Al expandir $(1+0.2)^{1000}$ mediante el teorema del binomio y sin hacer más manipulaciones, se obtiene \begin{eqnarray*} &\ & \binom{1000}{0}(0.2)^0+\binom{1000}{1}(0.2)^1+\binom{1000}{2}(0.2)^2+\cdots+\binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}\\ &\ & = A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_{1000}, \end{eqnarray*} donde $A_k = \binom{1000}{k}(0.2)^k$ para $k = 0,1,2,\ldots,1000$. ¿Para cuál $k$ es $A_k$ el mayor?