4 ¿Para qué enteros positivos $n$ se puede cubrir una escalera como la de la figura (pero con $n$ escalones en lugar de $4$ ) con $n$ cuadrados de lados enteros, no necesariamente del mismo tamaño, sin que estos cuadrados se superpongan y sin que sobresalgan del borde de la figura?

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con alturas $AD,BE$ y $CF$ . El círculo de diámetro $AD$ interseca los lados $AB,AC$ en $M,N$ respectivamente. Sean $P,Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$ respectivamente. Demuestre que $Q$ es el punto medio de $PD$ .

6 Sea n la suma de las cifras de un número natural A. Se dice que el número A es «surtido» si todo número 1,2,3,4....,n puede expresarse como una suma de cifras de A. a) Demuestre que si 1,2,3,4,5,6,7,8 son sumas de cifras de A, entonces A es «surtido». b) Si 1,2,3,4,5,6,7 son sumas de cifras de A, ¿se sigue que A es «surtido»?

1 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sea $P$ cualquier punto del interior del segmento $BC$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $BPO$ interseca el segmento $AB$ en el punto $R$ y que la circunferencia circunscrita del triángulo $COP$ interseca $CA$ en el punto $Q$ . (i) Considere el triángulo $PQR$ , demuestre que es semejante al triángulo $ABC$ y que $O$ es su ortocentro. (ii) Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BPO$ , $COP$ , $PQR$ tienen el mismo radio.

2 Dadas varias matrices del mismo tamaño. Dado un entero positivo $N$ , digamos que una matriz es $N$ - equilibrada si las entradas de la matriz son enteros y la diferencia entre cualesquiera dos entradas adyacentes de la matriz es menor o igual que $N$ . (i) Demuestre que toda matriz $2N$ - equilibrada puede escribirse como suma de dos matrices $N$ - equilibradas. (ii) Demuestre que toda matriz $3N$ - equilibrada puede escribirse como suma de tres matrices $N$ - equilibradas.

3 $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. $M$ es el punto medio de $CD$ . Las diagonales se cortan en $P$ . La circunferencia que pasa por $P$ y es tangente a $CD$ en $M$ corta de nuevo a $AC$ en $R$ y a $BD$ de nuevo en $Q$ . El punto $S$ sobre $BD$ es tal que $BS = DQ$ . La recta que pasa por $S$ paralela a $AB$ corta a $AC$ en $T$ . Demuestre que $AT = RC$ .

16 Sabiendo que el sistema \[x + y + z = 3,\] \[x^3 + y^3 + z^3 = 15,\] \[x^4 + y^4 + z^4 = 35,\] tiene una solución real $x, y, z$ para la cual $x^2 + y^2 + z^2 < 10$, encuentra el valor de $x^5 + y^5 + z^5$ para esa solución. Amir

15 Sea \(ABCD\) un cuadrilátero convexo cuyas diagonales se intersectan en \(O\) formando un ángulo \(\theta\). Definimos \(OA = a, OB = b, OC = c\) y \(OD = d\), con \(c > a > 0\) y \(d > b > 0\). Demuestra que si existe un cono circular recto con vértice \(V\), con las propiedades: (1) su eje pasa por \(O\), y (2) su superficie curva pasa por \(A,B,C\) y \(D\), entonces \[ OV^2=\frac{d^2b^2(c + a)^2 - c^2a^2(d + b)^2}{ca(d - b)^2 - db(c - a)^2}. \] Demuestra también que si \(\frac{c+a}{d+b}\) está entre \(\frac{ca}{db}\) y \(\sqrt{\frac{ca}{db}}\), y \(\frac{c-a}{d-b}=\frac{ca}{db}\), entonces para una elección adecuada de \(\theta\), existe un cono circular recto con las propiedades (1) y (2).

Nota que $8^3 - 7^3 = 169 = 13^2$ y $13 = 2^2 + 3^2.$ Demuestra que si la diferencia entre dos cubos consecutivos es un cuadrado, entonces es el cuadrado de la suma de dos cuadrados consecutivos. Amir

4 Para enteros positivos $n, m$ defina $f(n,m)$ como sigue. Escriba una lista de $ 2001$ números $a_i$ , donde $a_1 = m$ , y $a_{k+1}$ es el residuo de $a_k^2$ $mod \, n$ (para $k = 1, 2,..., 2000$ ) . Luego ponga $f(n,m) = a_1-a_2 + a_3 -a_4 + a_5- ... + a_{2001}$ . ¿Para qué $n \ge 5$ podemos encontrar m tal que $2 \le m \le n/2$ y $f(m,n) > 0$ ?