3 Para enteros positivos $a,b,c$ , sean $ \alpha, \beta, \gamma$ enteros positivos distintos dos a dos tales que \[ \begin{cases}{c} \displaystyle a &= \alpha + \beta + \gamma, \\ b &= \alpha \cdot \beta + \beta \cdot \gamma + \gamma \cdot \alpha, \\ c^2 &= \alpha\beta\gamma. \end{cases} \] Además, sea $ \lambda$ un número real que satisface la condición \[\lambda^4 -2a\lambda^2 + 8c\lambda + a^2 - 4b = 0.\] Demuestre que $\lambda$ es un entero si y solo si $\alpha, \beta, \gamma$ son todos cuadrados perfectos.

1 $E$ y $F$ son puntos interiores del cuadrilátero convexo $ABCD$ tales que $AE = BE$ , $CE = DE$ , $\angle AEB = \angle CED$ , $AF = DF$ , $BF = CF$ , $\angle AFD = \angle BFC$ . Demuestre que $\angle AFD + \angle AEB = \pi$ .

2 $a$ y $b$ son números naturales tales que $b > a > 1$ , y $a$ no divide a $b$ . La sucesión de números naturales $\{b_n\}_{n=1}^\infty$ satisface $b_{n + 1} \geq 2b_n \forall n \in \mathbb{N}$ . ¿Existe una sucesión $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ de números naturales tal que para todo $n \in \mathbb{N}$ , $a_{n + 1} - a_n \in \{a, b\}$ , y para todos $m, l \in \mathbb{N}$ ( $m$ puede ser igual a $l$ ) , $a_m + a_l \not\in \{b_n\}_{n=1}^\infty$ ?

3 Para un número natural dado $k > 1$ , halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todos $x, y \in \mathbb{R}$ , $f[x^k + f(y)] = y +[f(x)]^k$ .

1 Para un número natural dado $n > 3$ , los números reales $x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n + 1}, x_{n + 2}$ satisfacen las condiciones $0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < x_{n + 1} < x_{n + 2}$ . Halle el valor mínimo posible de \[\frac{(\sum _{i=1}^n \frac{x_{i + 1}}{x_i})(\sum _{j=1}^n \frac{x_{j + 2}}{x_{j + 1}})}{(\sum _{k=1}^n \frac{x_{k + 1} x_{k + 2}}{x_{k + 1}^2 + x_k x_{k + 2}})(\sum _{l=1}^n \frac{x_{l + 1}^2 + x_l x_{l + 2}}{x_l x_{l + 1}})}\] y halle todas las $(n + 2)$ - uplas de números reales $(x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n + 1}, x_{n + 2})$ que dan este valor.

2 En el triángulo equilátero $\bigtriangleup ABC$ , $D$ es un punto del lado $BC$ . $O_1$ e $I_1$ son el circuncentro y el incentro de $\bigtriangleup ABD$ respectivamente, y $O_2$ e $I_2$ son el circuncentro y el incentro de $\bigtriangleup ADC$ respectivamente. $O_1I_1$ corta a $O_2I_2$ en $P$ . Halle el lugar geométrico del punto $P$ cuando $D$ se mueve a lo largo de $BC$ .

3 Sea $F = \max_{1 \leq x \leq 3} |x^3 - ax^2 - bx - c|$ . Cuando $a$ , $b$ , $c$ recorren todos los números reales, halle el menor valor posible de $F$ .

2 Sean $\theta_i \in \left ( 0,\frac{\pi}{4} \right ]$ para $i=1,2,3,4$ . Demuestre que: $\tan \theta _1 \tan \theta _2 \tan \theta _3 \tan \theta _4 \le (\frac{\sin^8 \theta _1+\sin^8 \theta _2+\sin^8 \theta _3+\sin^8 \theta _4}{\cos^8 \theta _1+\cos^8 \theta _2+\cos^8 \theta _3+\cos^8 \theta _4})^\frac{1}{2}$

3 $$F(x)=x^{6}+15x^{5}+85x^{4}+225x^{3}+274x^{2}+120x+1$$

1 Dados siete puntos en un plano, sin tres puntos colineales. Demuestre que siempre es posible dividir estos puntos en los vértices de un triángulo y de un cuadrilátero convexo, sin partes compartidas entre las dos figuras.