1 Encuentra todos los enteros $n \geq 3$ tales que entre cualesquiera $n$ números reales positivos $a_1, a_2, \hdots, a_n$ con $\text{max}(a_1,a_2,\hdots,a_n) \leq n \cdot \text{min}(a_1,a_2,\hdots,a_n)$, existan tres que sean las longitudes de los lados de un triángulo agudo.

2 Un círculo está dividido en $432$ arcos congruentes por $432$ puntos. Los puntos se colorean con cuatro colores de modo que algunos $108$ puntos son de color Rojo, algunos $108$ puntos son de color Verde, algunos $108$ puntos son de color Azul, y los restantes $108$ puntos son de color Amarillo. Demuestra que se pueden elegir tres puntos de cada color de tal manera que los cuatro triángulos formados por los puntos elegidos del mismo color sean congruentes.

3 Determina qué enteros \(n > 1\) tienen la propiedad de que existe una sucesión infinita \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) de enteros no nulos tal que la igualdad \[a_k+2a_{2k}+\ldots+na_{nk}=0\] se cumple para todo entero positivo \(k\).

4 Encuentra todas las funciones \( f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+ \) (donde \( \mathbb{Z}^+ \) es el conjunto de los enteros positivos) tales que \( f(n!) = f(n)! \) para todo entero positivo \( n \) y tales que \( m-n \) divide a \( f(m) - f(n) \) para todos los enteros positivos distintos \( m, n \).

5 Sea $P$ un punto en el plano del triángulo $ABC$, y $\gamma$ una recta que pasa por $P$. Sean $A', B', C'$ los puntos donde las reflexiones de las rectas $PA, PB, PC$ con respecto a $\gamma$ intersecan a las rectas $BC, AC, AB$ respectivamente. Demuestra que $A', B', C'$ son colineales.

Para entero \(n\geq2\), sean \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) números reales que satisfacen \[x_1+x_2+\ldots+x_n=0, \qquad \text{y}\qquad x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1.\] Para cada subconjunto \(A\subseteq\{1, 2, \ldots, n\}\), define \[S_A=\sum_{i\in A}x_i.\] (Si \(A\) es el conjunto vacío, entonces \(S_A=0\).) Demuestra que para cualquier número positivo \(\lambda\), el número de conjuntos \(A\) que satisfacen \(S_A\geq\lambda\) es a lo más \(2^{n-3}/\lambda^2\). ¿Para qué elecciones de \(x_1, x_2, \ldots, x_n, \lambda\) se cumple la igualdad?

1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\leq4$. Demuestra que \[\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\geq 3.\]

2 A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco enteros es 2011. Una jugada del juego de solitario consiste en restar un entero $m$ de cada uno de los enteros en dos vértices vecinos y sumar $2m$ al vértice opuesto, que no es adyacente a ninguno de los dos primeros vértices. (La cantidad $m$ y los vértices elegidos pueden variar de jugada en jugada.) El juego se gana en un cierto vértice si, después de algún número de jugadas, ese vértice tiene el número 2011 y los otros cuatro vértices tienen el número 0. Demuestra que para cualquier elección de los enteros iniciales, hay exactamente un vértice en el cual se puede ganar el juego.

3 En el hexágono \(ABCDEF\), que es no convexo pero no se auto-interseca, ningún par de lados opuestos son paralelos. Los ángulos internos satisfacen \(\angle A=3\angle D\), \(\angle C=3\angle F\), y \(\angle E=3\angle B\). Además, \(AB=DE\), \(BC=EF\), y \(CD=FA\). Demuestra que las diagonales \(\overline{AD}\), \(\overline{BE}\), y \(\overline{CF}\) son concurrentes.

4 Considera la afirmación de que para cada entero positivo $n\geq2$, el residuo al dividir $2^{2^n}$ entre $2^n-1$ es una potencia de $4$. O demuestra la afirmación o encuentra (con prueba) un contraejemplo.