3 Halle todos los pares $(p,n)$ tales que $p$ es un número primo, $n$ es un entero positivo y \[p^3-2p^2+p+1=3^n \] se cumple.

4 Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el punto medio del segmento $BC$ . La circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $AB$ en $B$ , y la circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $AC$ en $C$ se intersecan en $M\neq D$ . Sea $M'$ el reflejo de $M$ con respecto a $BC$ . Demuestre que $M'$ está sobre $AD$ .

1 Demuestre que para números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ tales que $a+b+c+abc=4$ , \[\left (1+\dfrac{a}{b}+ca \right )\left (1+\dfrac{b}{c}+ab \right)\left (1+\dfrac{c}{a}+bc \right) \ge 27\] se cumple.

2 Determine la cantidad mínima posible de divisores primos distintos de $19^{4n}+4$ , para un entero positivo $n$ .

3 Hay $2014$ bolas con $106$ colores distintos, $19$ de cada color. Determine el menor valor posible de $n$ de modo que, sin importar cómo se dispongan estas bolas alrededor de un círculo, se puedan elegir $n$ bolas consecutivas de manera que entre ellas haya $53$ bolas con colores distintos.

4 $ABC$ es un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Los puntos $D$ y $E$ están en el segmento $BC$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle BHC$ interseca a los segmentos $AD$ , $AE$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que si $BD^2+CD^2=2DP\cdot DA$ y $BE^2+CE^2=2EQ\cdot EA$ , entonces $BP=CQ$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC>AB.$ Una circunferencia tangente a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente, interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $K$ y $L$ . Sean $X$ y $Y$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, que satisfacen \[ \frac{AX}{AB}=\frac{CE}{BD+CE} \quad \text{and} \quad \frac{AY}{AC}=\frac{BD}{BD+CE} \] Muestre que las rectas $XY, BC$ y $KL$ son concurrentes.

4 El jugador $A$ coloca un número impar de cajas alrededor de un círculo y distribuye $2013$ bolas en algunas de estas cajas. Luego el jugador $B$ elige una de estas cajas y toma las bolas que hay en ella. Después de eso, el jugador $A$ elige la mitad de las cajas restantes de modo que no haya dos consecutivas y toma las bolas que hay en ellas. Si el jugador $A$ garantiza tomar $k$ bolas, halle el máximo valor posible de $k$ .

1 Sean $x, y$ enteros y $p$ un primo para el cual \[ x^2-3xy+p^2y^2=12p \] Halle todas las ternas $(x,y,p)$ .

2 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales son perpendiculares entre sí y se intersecan en $E$ . Sea $P$ un punto del lado $AD$ distinto de $A$ tal que $PE=EC.$ La circunferencia circunscrita del triángulo $BCD$ interseca al lado $AD$ en $Q$ , donde $Q$ también es distinto de $A$ . La circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a la recta $EP$ en $P$ , interseca al segmento $AC$ en $R$ . Si los puntos $B, R, Q$ son concurrentes, muestre que $\angle BCD=90^{\circ}$ .