1 Sea $\Gamma$ una circunferencia y sea $d$ una recta tales que $\Gamma$ y $d$ no tienen puntos comunes. Además, sea $AB$ un diámetro de la circunferencia $\Gamma$ ; suponga que este diámetro $AB$ es perpendicular a la recta $d$ , y que el punto $B$ está más cerca de la recta $d$ que el punto $A$ . Sea $C$ un punto arbitrario de la circunferencia $\Gamma$ , distinto de los puntos $A$ y $B$ . Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $d$ . Una de las dos tangentes trazadas desde el punto $D$ a la circunferencia $\Gamma$ toca a esta circunferencia $\Gamma$ en un punto $E$ ; suponemos aquí que los puntos $B$ y $E$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la recta $AC$ . Denote por $F$ el punto de intersección de las rectas $BE$ y $d$ . Sea la recta $AF$ que interseca a la circunferencia $\Gamma$ en un punto $G$ , distinto de $A$ . Demuestre que el reflejo del punto $G$ respecto de la recta $AB$ se encuentra sobre la recta $CF$ . darij

2 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ números reales positivos tales que $ a^4 + b^4 + c^4 = 3$ . Demuestre que $ \sum\frac1{4 - ab}\leq1$ , donde el signo $ \sum$ denota la suma cíclica. Formulación alternativa: Para cualesquiera números reales positivos $ a$ , $ b$ , $ c$ que satisfacen $ a^4 + b^4 + c^4 = 3$ , demuestre la desigualdad $ \frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}+\frac{1}{4-ab}\leq 1$ .

3 \[A=3\sum_{m=1}^{n^2}(\frac12-\{\sqrt{m}\})\] donde $n$ es un entero positivo. Halle el mayor $k$ tal que $n^k$ divide a $[A]$ .

4 $n$ es un entero positivo, $K$ el conjunto de polinomios en las variables reales $x_1,x_2,...,x_{n+1}$ e $y_1,y_2,...,y_{n+1}$ , la función $f:K\rightarrow K$ satisface \[f(p+q)=f(p)+f(q),\quad f(pq)=f(p)q+pf(q),\quad (\forall)p,q\in K.\] Si $f(x_i)=(n-1)x_i+y_i,\quad f(y_i)=2ny_i$ para todo $i=1,2,...,n+1$ y \[\prod_{i=1}^{n+1}(tx_i+y_i)=\sum_{i=0}^{n+1}p_it^{n+1-i}\] para cualquier real $t$ , demuestre que para todo $k=1,...,n+1$ \[f(p_{k-1})=kp_k+(n+1)(n+k-2)p_{k-1}\]

1 En el triángulo $ABC$ , $M\in(BC)$ , $\frac{BM}{BC}=\alpha$ , $N\in(CA)$ , $\frac{CN}{CA}=\beta$ , $P\in(AB)$ , $\frac{AP}{AB}=\gamma$ . Sean $AM\cap BN=\{D\}$ , $BN\cap CP=\{E\}$ , $CP\cap AM=\{F\}$ . Demuestre que $S_{DEF}=S_{BMD}+S_{CNE}+S_{APF}$ si y solo si $\alpha+\beta+\gamma=1$ .

2 Sea $m\in N$ y $E(x,y,m)=(\frac{72}x)^m+(\frac{72}y)^m-x^m-y^m$ , donde $x$ e $y$ son divisores positivos de 72. a) Demuestre que existen infinitos números naturales $m$ tales que 2005 divide a $E(3,12,m)$ y a $E(9,6,m)$ . b) Halle el menor entero positivo $m_0$ tal que 2005 divide a $E(3,12,m_0)$ y a $E(9,6,m_0)$ .

3 ¿Existe una configuración de 22 circunferencias y 22 puntos tal que cualquier circunferencia contenga al menos 7 puntos y cualquier punto pertenezca al menos a 7 circunferencias?

4 Halle el mayor $p$ positivo ( $p>1$ ) tal que $\forall a,b,c\in[\frac1p,p]$ se cumple la siguiente desigualdad \[9(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^4\]

1 Sean $ABC$ y $A_{1}B_{1}C_{1}$ dos triángulos. Demuestre que $\frac{a}{a_{1}}+\frac{b}{b_{1}}+\frac{c}{c_{1}}\leq\frac{3R}{2r_{1}}$ , donde $a = BC$ , $b = CA$ , $c = AB$ son las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ , donde $a_{1}=B_{1}C_{1}$ , $b_{1}=C_{1}A_{1}$ , $c_{1}=A_{1}B_{1}$ son las longitudes de los lados del triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ , donde $R$ es el circunradio del triángulo $ABC$ y $r_{1}$ es el inradio del triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ .

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con ${\angle B<\angle C}$ . La recta $AO$ corta al lado $BC$ en $D$ . Los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $E$ y $F$ , respectivamente. Prolongue los lados $BA$ y $CA$ más allá de $A$ , y elija sobre las respectivas prolongaciones los puntos $G$ y $H$ tales que ${AG=AC}$ y ${AH=AB}$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y solo si ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ . Propuesto por Hojoo Lee, Corea