2 Determine la suma de los valores absolutos de las raíces complejas de $ 20 x^8 + 7i x^7 -7ix + 20.$

3 Las circunferencias $ w_{1}$ y $ w_{2}$ con centros $ O_{1}$ y $ O_{2}$ son tangentes exteriormente en el punto $ D$ e interiormente tangentes a una circunferencia $ w$ en los puntos $ E$ y $ F$ , respectivamente. La recta $ t$ es la tangente común de $ w_{1}$ y $ w_{2}$ en $ D$ . Sea $ AB$ el diámetro de $ w$ perpendicular a $ t$ , de modo que $ A, E, O_{1}$ están en el mismo lado de $ t$ . Demuestre que las rectas $ AO_{1}$ , $ BO_{2}$ , $ EF$ y $ t$ son concurrentes.

1 Se elige un punto $D$ sobre el lado $AC$ de un triángulo $ABC$ con $\angle C < \angle A < 90^\circ$ de tal manera que $BD=BA$ . La circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente a $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente. Sea $J$ el incentro del triángulo $BCD$ . Demuestre que la recta $KL$ interseca el segmento $AJ$ en su punto medio.

2 Un pastel tiene la forma de un cuadrado de $ n$ x $ n$ compuesto por $ n^{2}$ cuadrados unitarios. Hay fresas sobre algunos de los cuadrados unitarios de modo que cada fila o columna contiene exactamente una fresa; llame a este arreglo $\mathcal{A}$ . Sea $\mathcal{B}$ otro arreglo de este tipo. Suponga que todo rectángulo de la cuadrícula con un vértice en la esquina superior izquierda del pastel no contiene menos fresas del arreglo $\mathcal{B}$ que del arreglo $\mathcal{A}$ . Demuestre que el arreglo $\mathcal{B}$ se puede obtener de $ \mathcal{A}$ realizando un número de intercambios, definidos de la siguiente manera: Un intercambio consiste en seleccionar un rectángulo de la cuadrícula con solo dos fresas, situadas en su esquina superior derecha y en su esquina inferior izquierda, y mover estas dos fresas a las otras dos esquinas de ese rectángulo.

3 Halle todas las soluciones enteras de la ecuación \[\frac {x^{7} - 1}{x - 1} = y^{5} - 1.\] e.lopes

1 Sea $ k \in \mathbb{N}$ . Un polinomio se llama $ k$ - válido si todos sus coeficientes son enteros entre 0 y $ k$ inclusive. (Aquí no consideramos que 0 sea un número natural.) a.) Para $ n \in \mathbb{N}$ sea $ a_n$ el número de polinomios 5-válidos $ p$ que satisfacen $ p(3) = n.$ Demuestre que cada número natural aparece en la sucesión $ (a_n)_n$ al menos una vez pero solo finitas veces. b.) Para $ n \in \mathbb{N}$ sea $ a_n$ el número de polinomios 4-válidos $ p$ que satisfacen $ p(3) = n.$ Demuestre que cada número natural aparece infinitas veces en la sucesión $ (a_n)_n$ .

2 Determine todas las funciones $ f: \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}^+$ que satisfacen \[ f \left(\frac {f(x)}{yf(x) + 1}\right) = \frac {x}{xf(y)+1} \quad \forall x,y > 0\]

3 Sea $ ABC$ un triángulo y $ P$ un punto arbitrario en el plano. Sean $ \alpha, \beta, \gamma$ los ángulos interiores del triángulo y su área se denota por $ F.$ Demuestre: $$ AP^2 \cdot \sin 2\alpha + BP^2 \cdot \sin 2\beta + CP^2 \cdot \sin 2\gamma \geq 2F$$ ¿Cuándo ocurre la igualdad? Click to reveal hidden text latex fixed

1 Para un múltiplo $ kb$ de $ b$ sea $ a \% kb$ el mayor número tal que $ a \% kb = a \bmod b$ que es menor que $ kb$ y no mayor que $ a$ mismo. Sea $ n \in \mathbb{Z}^ + .$ Determine todos los pares de enteros $ (a,b)$ con: \[ a\%b + a\%2b + a\%3b + \ldots + a\%nb = a + b \]

2 Sean $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ los pies de las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ trazadas desde los vértices $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente. Sean $K$ y $M$ puntos sobre los segmentos $A_{1}C_{1}$ y $B_{1}C_{1}$ , respectivamente, tales que $\measuredangle KAM = \measuredangle A_{1}AC$ . Demuestre que la recta $AK$ es la bisectriz del ángulo $C_{1}KM$ .