2 Sea $A_1$ el centro del cuadrado inscrito en el triángulo acutángulo $ABC$ con dos vértices del cuadrado sobre el lado $BC$ . Así, uno de los dos vértices restantes del cuadrado está sobre el lado $AB$ y el otro sobre $AC$ . Los puntos $B_1,\ C_1$ se definen de manera similar para los cuadrados inscritos con dos vértices sobre los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $AA_1,\ BB_1,\ CC_1$ son concurrentes.

3 Demuestre que no existe un entero positivo $n$ tal que, para $k = 1,2,\ldots,9$ , el dígito más a la izquierda (en notación decimal) de $(n+k)!$ sea igual a $k$ .

1 Sea $E$ un conjunto de $n$ puntos en el plano $(n \geq 3)$ cuyas coordenadas son enteros, tal que cualesquiera tres puntos de $E$ son vértices de un triángulo no degenerado cuyo baricentro no tiene ambas coordenadas enteras. Determine el $n.$ máximo. Amir

2 Sea $S$ un cuadrilátero convexo $ABCD$ y $O$ un punto en su interior. Los pies de las perpendiculares trazadas desde $O$ a $AB, BC, CD, DA$ son $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Los pies de las perpendiculares trazadas desde $O$ a los lados de $S_i$ , el cuadrilátero $A_iB_iC_iD_i$ , son $A_{i+1}B_{i+1}C_{i+1}D_{i+1}$ , donde $i = 1, 2, 3.$ Demuestre que $S_4$ es semejante a S. Amir

3 Sea $n$ un entero mayor que $1$ . Defina \[x_1 = n, y_1 = 1, x_{i+1} =\left[ \frac{x_i+y_i}{2}\right] , y_{i+1} = \left[ \frac{n}{x_{i+1}}\right], \qquad \text{for }i = 1, 2, \ldots\ ,\] donde $[z]$ denota el mayor entero menor o igual que $z$ . Demuestre que \[ \min \{x_1, x_2, \ldots, x_n \} =[ \sqrt n ]\] Amir

4 Sea $B$ un conjunto de $k$ sucesiones, cada una con $n$ términos iguales a $1$ o $-1$ . El producto de dos de tales sucesiones $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ y $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$ se define como $(a_1b_1, a_2b_2, \ldots , a_nb_n)$ . Demuestre que existe una sucesión $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ tal que la intersección de $B$ con el conjunto que contiene todas las sucesiones de $B$ multiplicadas por $(c_1, c_2, \ldots , c_n)$ contiene a lo sumo $\frac{k^2}{2^n}$ sucesiones. Amir

5 Sea $E$ un conjunto finito de puntos tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ colineales. Muestre que se cumple al menos una de las siguientes alternativas: (i) $E$ contiene cinco puntos que son vértices de una pirámide convexa que no tiene ningún otro punto en común con $E;$ (ii) algún plano contiene exactamente tres puntos de $E.$ Amir

6 Un punto de la red en el plano es un punto cuyas dos coordenadas son enteros. Cada punto de la red tiene cuatro puntos vecinos: superior, inferior, izquierdo y derecho. Sea $k$ un círculo con radio $r \geq 2$ , que no pasa por ningún punto de la red. Un punto frontera interior es un punto de la red situado dentro del círculo $k$ que tiene un punto vecino situado fuera de $k$ . De manera similar, un punto frontera exterior es un punto de la red situado fuera del círculo $k$ que tiene un punto vecino situado dentro de $k$ . Demuestre que hay cuatro puntos frontera exteriores más que puntos frontera interiores. Amir

1 Sean $E$ y $F$ sobre $AC$ y $AB$ respectivamente en $\triangle ABC$ tales que $DE || BC$ ; luego trace la recta $l$ que pasa por $A$ tal que $l || BC$ ; sean $D'$ y $E'$ los reflejos de $D$ y $E$ respecto de $l$ , respectivamente; demuestre que $D'B, E'C$ y $l$ son concurrentes.

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera valores reales de $x,y$ se tiene: $$f(xf(y)+f(x)+y)=xy+f(x)+f(y)$$