Sea $L$ un círculo con centro $O$ tangente a los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Sea la perpendicular desde $O$ a $BC$ que corta a $EF$ en $D$ . Demuestre que $A,D$ y $M$ son colineales, donde $M$ es el punto medio de $BC$ .

Considere $k$ enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_k$ que satisfacen $1\le a_1<a_2<\ldots<a_k\le n$ y $\operatorname{lcm}(a_i,a_j)\le n$ para cualesquiera $i,j$ . Demuestre que $$k\le2\lfloor\sqrt n\rfloor.$$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Construya tres semicírculos, cada uno con un lado distinto de ABC como diámetro, y en el exterior de $ABC$ . Las perpendiculares trazadas desde $A,B,C$ a los lados opuestos intersecan estos semicírculos en los puntos $E,F,G$ , respectivamente. Demuestre que el hexágono $AGBECF$ puede doblarse de modo que forme una pirámide con base $ABC$ .

Hay $n\ge3$ enteros alrededor de un círculo. Sabemos que para cada uno de estos números, la razón entre la suma de sus dos vecinos y el número es un entero positivo. Demuestre que la suma de las $n$ razones no es mayor que $3n$ .

Demuestre que es posible colorear los puntos de $\mathbb Q\times\mathbb Q$ con dos colores de tal manera que cualesquiera dos puntos a distancia $1$ tengan colores distintos.

(a) Demuestre que, para cada entero positivo $n$ , el número de polinomios mónicos de grado $n$ con coeficientes enteros que tienen todas sus raíces sobre la circunferencia unitaria es finito. (b) Sea $P(x)$ un polinomio mónico con coeficientes enteros que tiene todas sus raíces sobre la circunferencia unitaria. Demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $y^m=1$ para cada raíz $y$ de $P(x)$ .

Sea $p$ un primo impar y $k$ un entero positivo no divisible por $p$ , $1\le k<2(p+1)$ , y sea $N=2kp+1$ . Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) $N$ es un número primo (ii) existe un entero positivo $a$ , $2\le a<n$ , tal que $a^{kp}+1$ es divisible por $N$ y $\gcd\left(a^k+1,N\right)=1$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $L$ su circunferencia circunscrita. La bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en el punto $P$ . Sea $L_1$ la circunferencia tangente a $AP,BP$ y $L$ . De manera similar, sea $L_2$ la circunferencia tangente a $AP,CP$ y $L$ . Demuestre que los puntos de tangencia de $L_1$ y $L_2$ con $AP$ coinciden.

Decimos que un subconjunto $A$ de $\mathbb N$ es bueno si para algún entero positivo $n$ , la ecuación $x-y=n$ admite infinitas soluciones con $x,y\in A$ . Si $A_1,A_2,\ldots,A_{100}$ son conjuntos cuya unión es $\mathbb N$ , demuestre que al menos uno de los $A_i$ s es bueno.

Demuestre que es imposible disponer los números $1,2,\ldots,1997$ alrededor de un círculo de tal manera que, si $x$ y $y$ son cualesquiera dos números vecinos, entonces $499\le|x-y|\le997$ .