2 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $ f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1$ para todos los números reales $ x$ y $ y$ . Propuesto por B.J. Venkatachala, India andre.l

3 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una recta variable $g$ que pasa por el vértice $A$ interseca los rayos $BC$ y $DC$ en los puntos $X$ y $Y$ , respectivamente. Sean $K$ y $L$ los $A$ - excentros de los triángulos $ABX$ y $ADY$ . Demuestre que el ángulo $\measuredangle KCL$ es independiente de la recta $g$ . Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

1 Para todo entero positivo $n$ , sea $w\left(n\right)$ el número de divisores primos diferentes del número $n$ . (Por ejemplo, $w\left(12\right)=2$ . ) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $w\left(n\right)<w\left(n+1\right)<w\left(n+2\right)$ . darij

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con ${\angle B<\angle C}$ . La recta $AO$ corta al lado $BC$ en $D$ . Los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $E$ y $F$ , respectivamente. Prolongue los lados $BA$ y $CA$ más allá de $A$ , y elija en las respectivas prolongaciones puntos $G$ y $H$ tales que ${AG=AC}$ y ${AH=AB}$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y solo si ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ . Propuesto por Hojoo Lee, Corea

3 Un entero positivo se llama agradable si la suma de sus dígitos en el sistema de numeración de base $ 3$ es divisible por $ 3$ . Calcule la suma de los primeros $ 2005$ enteros positivos agradables. darij

1 Halle todas las funciones monótonamente crecientes o monótonamente decrecientes $f: \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ que satisfacen la ecuación $f\left(xy\right)\cdot f\left(\frac{f\left(y\right)}{x}\right)=1$ para cualesquiera dos números $x$ e $y$ de $\mathbb{R}_+$ . Aquí, $\mathbb{R}_+$ es el conjunto de todos los números reales positivos. Nota. Una función $f: \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ se llama monótonamente creciente si para cualesquiera dos números positivos $x$ e $y$ tales que $x\geq y$ , se tiene $f\left(x\right)\geq f\left(y\right)$ . Una función $f: \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$ se llama monótonamente decreciente si para cualesquiera dos números positivos $x$ e $y$ tales que $x\geq y$ , se tiene $f\left(x\right)\leq f\left(y\right)$ . darij

2 Sea $ABC$ un triángulo que satisface $BC < CA$ . Sea $P$ un punto arbitrario sobre el lado $AB$ (distinto de $A$ y $B$ ) , y sea la recta $CP$ que corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en un punto $S$ (distinto del punto $C$ ) . Sea la circunferencia circunscrita del triángulo $ASP$ que corta a la recta $CA$ en un punto $R$ (distinto de $A$ ) , y sea la circunferencia circunscrita del triángulo $BPS$ que corta a la recta $CB$ en un punto $Q$ (distinto de $B$ ) . Demuestre que la excircunferencia del triángulo $APR$ en el lado $AP$ es idéntica a la excircunferencia del triángulo $PQB$ en el lado $PQ$ si y solo si el punto $S$ es el punto medio del arco $AB$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . darij

3 Sean $b$ y $c$ dos enteros positivos cualesquiera. Defina una sucesión de enteros $a_n$ , para $n\geq 1$ , mediante $a_1=1$ , $a_2=1$ , $a_3=b$ y $a_{n+3}=ba_{n+2}a_{n+1}+ca_n$ . Halle todos los enteros positivos $r$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que el número $a_n$ es divisible por $r$ . darij

1 En lo que sigue, una palabra significará una sucesión finita de letras " $a$ " y " $b$ " . La longitud de una palabra significará el número de letras de la palabra. Por ejemplo, $abaab$ es una palabra de longitud $5$ . Existe exactamente una palabra de longitud $0$ , a saber, la palabra vacía. Una palabra $w$ de longitud $\ell$ formada por las letras $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_{\ell}$ en este orden se llama palíndromo si y solo si $x_j=x_{\ell+1-j}$ se cumple para todo $j$ tal que $1\leq j\leq\ell$ . Por ejemplo, $baaab$ es un palíndromo; también lo es la palabra vacía. Para dos palabras $w_1$ y $w_2$ , sea $w_1w_2$ la palabra formada escribiendo la palabra $w_2$ inmediatamente después de la palabra $w_1$ . Por ejemplo, si $w_1=baa$ y $w_2=bb$ , entonces $w_1w_2=baabb$ . Sean $r$ , $s$ , $t$ enteros no negativos que satisfacen $r + s = t + 2$ . Demuestre que existen palíndromos $A$ , $B$ , $C$ con longitudes $r$ , $s$ , $t$ , respectivamente, tales que $AB=Cab$ , si y solo si los enteros $r + 2$ y $s - 2$ son primos entre sí. darij

2 Sea n un entero positivo, y sean $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n$ , $b_1$ , $b_2$ , ..., $b_n$ números reales positivos tales que $a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n$ y $b_1\geq a_1$ , $b_1b_2\geq a_1a_2$ , $b_1b_2b_3\geq a_1a_2a_3$ , ..., $b_1b_2...b_n\geq a_1a_2...a_n$ . Demuestre que $b_1+b_2+...+b_n\geq a_1+a_2+...+a_n$ . darij