1 1. Los números $1,2, \ldots$ se colocan en un triángulo de la siguiente manera: \[ \begin{matrix} 1 & & & \\ 2 & 3 & & \\ 4 & 5 & 6 & \\ 7 & 8 & 9 & 10 \\ \ldots \end{matrix} \] ¿Cuál es la suma de los números en la $n$ -ésima fila?

2 Se da un semicírculo con punto medio $O$ y diámetro $AB$ . Sea $Z$ un punto arbitrario en el interior del semicírculo, sea $X$ la intersección de $OZ$ con el semicírculo e $Y$ la intersección de $AZ$ con el semicírculo. Si $P$ es la intersección de $BY$ con la recta tangente al semicírculo en $X$ , demuestre que $PZ \perp BX$ .

3 Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $10$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $[AB]$ y $[BC]$ , respectivamente. Se trazan tres círculos: uno con centro $D$ y radio $|AD|$ , uno con centro $M$ y radio $|AM|$ y uno con centro $N$ y radio $|BN|$ . Los tres círculos se intersecan en los puntos $R, S$ y $T$ en el interior del cuadrado. Determine el área de $\triangle RST$ .

4 Si $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ son funciones que satisfacen $f(x+g(y)) = 2x+y $ $\forall x,y \in \mathbb{R}$ , entonces determine $g(x+f(y))$ .

1 (a) Resuelva para $\theta\in\mathbb{R}$ : $\cos(4\theta) = \cos(3\theta)$ (b) $\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ , $\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)$ y $\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)$ son las raíces de una ecuación de la forma $ax^3+bx^2+cx+d = 0$ donde $a, b, c, d$ son números enteros. Determine $a, b, c$ y $d$ . Kurt Gödel

2 Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero y sea $P$ un punto sobre $\left[AB\right]$ . $Q$ es el punto sobre $BC$ tal que $PQ$ es perpendicular a $AB$ . $R$ es el punto sobre $AC$ tal que $QR$ es perpendicular a $BC$ . Y $S$ es el punto sobre $AB$ tal que $RS$ es perpendicular a $AC$ . $Q'$ es el punto sobre $BC$ tal que $PQ'$ es perpendicular a $BC$ . $R'$ es el punto sobre $AC$ tal que $Q'R'$ es perpendicular a $AC$ . Y $S'$ es el punto sobre $AB$ tal que $R'S'$ es perpendicular a $AB$ . Determine $\frac{|PB|}{|AB|}$ si $S=S'$ . Kurt Gödel

3 Elfos y trolls están sentados alrededor de una mesa redonda, 60 criaturas en total. Los trolls siempre mienten y todos los elfos siempre dicen la verdad, excepto cuando cometen un pequeño error. Todos afirman estar sentados entre un elfo y un troll, ¡pero exactamente dos elfos cometieron un error! ¿Cuántos trolls hay en esta mesa? Kurt Gödel

4 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}\backslash\{0,1\} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que \[ f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) = 1+\frac{1}{x(1-x)}. \] Kurt Gödel

1 Para todos los enteros positivos $n$ , halle el resto de $\dfrac{(7n)!}{7^n \cdot n!}$ al dividirlo entre 7.

2 Evidentemente, podemos poner 100 bolas unitarias en una caja de $10\times10\times1$ . ¿Cómo se pueden poner $105$ bolas unitarias? ¿Cómo podemos poner $106$ bolas unitarias?