1 Sea $\mathbb{N} = \{1,2, \ldots\}.$ ¿Existe una función $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tal que $\forall n \in \mathbb{N},$ $f^{1989}(n) = 2 \cdot n$ ?

2 $AD$ es la altura sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ . Si $BC+AD-AB-AC = 0$ , halle el rango de $\angle BAC$ . Formulación alternativa. Sea $AD$ la altura del triángulo $ABC$ sobre el lado $BC$ . Si $BC+AD=AB+AC$ , halle entonces el rango de $\angle{A}$ .

3 $1989$ circunferencias iguales se colocan arbitrariamente sobre la mesa sin superponerse. ¿Cuál es el menor número de colores necesarios para que todas las circunferencias puedan pintarse de modo que cualesquiera dos circunferencias tangentes tengan colores distintos?

4 $\forall n \in \mathbb{N}$ , $P(n)$ denota el número de particiones de $n$ como suma de enteros positivos (sin tener en cuenta el orden de las partes), p. ej., como $4 = 1+1+1+1 = 1+1+2 = 1+3 = 2+2 = 4$ , se tiene $P(4)=5$ . La «dispersión» de una partición denota el número de partes distintas de dicha partición. Y denotemos por $q(n)$ la suma de todas las dispersiones, p. ej., $q(4)=1+2+2+1+1=7$ . $n \geq 1$ . Demuestre que (1) $q(n) = 1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i).$ (2) $1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i) \leq \sqrt{2} \cdot n \cdot P(n)$ .

1 Suponga números reales $A,B,C$ tales que para todos los números reales $x,y,z$ se cumple la siguiente desigualdad: \[A(x-y)(x-z) + B(y-z)(y-x) + C(z-x)(z-y) \geq 0.\] Halle la condición necesaria y suficiente que deben satisfacer $A,B,C$ (expresada mediante una igualdad o una desigualdad).

2 Halle todas las funciones $f: \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{C}$ que satisfacen (i) Para cualesquiera $x_1, x_2, \ldots, x_{1988} \in \mathbb{Q}$ , $f(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{1988}) = f(x_1)f(x_2) \ldots f(x_{1988})$ . (ii) $\overline{f(1988)}f(x) = f(1988)\overline{f(x)}$ para todo $x \in \mathbb{Q}$ .

3 En el triángulo $ABC$ , $\angle C = 30^{\circ}$ , $O$ e $I$ son el circuncentro y el incentro respectivamente. Los puntos $D \in AC$ y $E \in BC$ son tales que $AD = BE = AB$ . Demuestre que $OI = DE$ y $OI \bot DE$ .

4 Sea $k \in \mathbb{N},$ $S_k = \{(a, b) | a, b = 1, 2, \ldots, k \}.$ Dos elementos cualesquiera $(a, b)$ , $(c, d)$ $\in S_k$ se llaman «indistinguibles» en $S_k$ si $a - c \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ y $b - d \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ ; en caso contrario, los llamamos «distinguibles». Por ejemplo, $(1, 1)$ y $(2, 5)$ son indistinguibles en $S_5$ . Consideremos el subconjunto $A$ de $S_k$ tal que los elementos de $A$ son distinguibles dos a dos. Sea $r_k$ el número máximo posible de elementos de $A$ . (i) Halle $r_5$ . (ii) Halle $r_7$ . (iii) Halle $r_k$ para $k \in \mathbb{N}$ .

1 Sea $f(x) = 3x + 2.$ Demuestre que existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $f^{100}(m)$ es divisible por $1988$ .

2 Sea $ABCD$ un trapecio con $AB // CD,$ $M$ y $N$ puntos fijos sobre $AB,$ $P$ un punto variable sobre $CD$ . $E = DN \cap AP$ , $F = DN \cap MC$ , $G = MC \cap PB$ , $DP = \lambda \cdot CD$ . Halle el valor de $\lambda$ para el cual el área del cuadrilátero $PEFG$ es máxima.