3 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen para todo $x$ : $(i)$ $f(x)=-f(-x);$ $(ii)$ $f(x+1)=f(x)+1;$ $(iii)$ $f\left( \frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x^2}f(x)$ para $x\ne 0$

6 En un tablero cuadrado con $m$ filas y $n$ columnas, donde $m\le n$ , algunas casillas están coloreadas de negro de modo que no hay dos filas iguales. Encuentre el mayor entero $k$ tal que, para toda coloración inicial posible, siempre se puedan colorear $k$ columnas enteramente de rojo de manera que, aun así, no haya dos filas iguales.

1 Para enteros positivos arbitrarios $a, b$ , denote $a @ b =\frac{a-b}{gcd(a,b)}$ . Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (i) $gcd(n, n @ m) = 1$ para todo entero positivo $m < n$ , (ii) $n = p^k$ donde $p$ es un número primo y $k$ es un entero no negativo.

2 Sea $n$ un entero positivo. Encuentre el mayor entero $N$ para el cual existe un conjunto de $n$ pesas tal que sea posible determinar la masa de todos los cuerpos con masas de $1, 2, ..., N$ utilizando una balanza de platillos. (es decir, determinar si un cuerpo de masa desconocida tiene una masa $1, 2, ..., N$ , y cuál exactamente).

3 Sean los ángulos de un triángulo $\alpha, \beta$ , y $\gamma$ , el perímetro $2p$ y el radio de la circunferencia circunscrita $R$ . Demuestre la desigualdad $\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta + \cot^2 \gamma \ge 3 \left(\frac{9R^2}{p^2}-1\right)$ . ¿Cuándo se alcanza la igualdad?

4 En un triángulo acutángulo $ABC$ el ángulo $C$ es mayor que el ángulo $A$ . Sea $AE$ un diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo. Sea $K$ el punto de intersección del rayo $AC$ y la tangente a la circunferencia circunscrita en el vértice $B$ . La perpendicular a $AE$ trazada por $K$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $BCK$ por segunda vez en el punto $D$ . Demuestre que $CE$ biseca el ángulo $BCD$ .

5 Sea $P(x, y)$ un polinomio homogéneo no constante con coeficientes reales tal que $P(\sin t, \cos t) = 1$ para todo número real $t$ . Demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que $P(x, y) = (x^2 + y^2)^k$ .

6 Cada casilla unitaria de un tablero de $n \times n$ está coloreada de rojo o de azul, de modo que entre todos los cuadrados de 2 $\times 2$ de este tablero estén representadas todas las coloraciones posibles de cuadrados de $2 \times 2$ con estos dos colores (las coloraciones que se obtienen unas de otras por rotación y reflexión se consideran diferentes). a) Encuentre el menor valor posible de $n$ . b) Para el menor valor posible de $n$ encuentre el menor número posible de casillas unitarias rojas.

1 Para números reales positivos arbitrarios distintos por pares $a, b, c$ , demuestre la desigualdad $$\frac{(a^2- b^2)^3 + (b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3}{(a- b)^3 + (b-c)^3+(c-a)^3}> 8abc$$

2 Un conjunto finito de enteros positivos se llama independiente si sus elementos son coprimos por pares, y bonito si la media aritmética de los elementos de todo subconjunto no vacío suyo es un entero. a) Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ existe un conjunto de $n$ elementos de enteros positivos que es a la vez independiente y bonito. b) ¿Existe un conjunto infinito de enteros positivos tal que todo subconjunto independiente suyo sea bonito y que tenga un subconjunto independiente de $n$ elementos para todo entero positivo $n$ ?