3 Hay un triángulo $ABC$ tal que $AB$ no es igual a $AC$ . $BD$ es la bisectriz interior de $\angle{ABC}$ ( $D\in AC$ ) $M$ es el punto medio del arco $CBA$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle{BDM}$ corta a $AB$ en $K$ y $J,$ es la simetría de $A$ respecto a $K$ . Si $DJ\cap AM=(O)$ , demuestre que $J,B,M,O$ son cíclicos.

4 Halle todas las soluciones enteras de la ecuación $x^2=y^2(x+y^4+2y^2)$ .

1 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que \[\left((3a^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{b}\right)^2\right)\left((3b^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{c}\right)^2\right)\left((3c^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{a}\right)^2\right)\geq 48^3\]

2 Halle todas las soluciones no negativas de la ecuación $2013^x+2014^y=2015^z$

1 Determine todos los conjuntos finitos y no vacíos $\mathcal{S}$ de enteros positivos tales que para todo $a,b\in\mathcal{S}$ existe $c\in\mathcal{S}$ con $a\mid b+2c$ .

2 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo y sea $M$ el punto medio de $AB$ . Suponga que el segmento $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $CME$ en $M$ y que $D$ está sobre las circunferencias circunscritas de $AME$ y $BMC$ . Las rectas $AD$ y $ME$ se cortan en $K$ , y las rectas $BD$ y $MC$ se cortan en $L$ . Los puntos $P$ y $Q$ están sobre la recta $EC$ de modo que $\angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB$ . Demuestre que las rectas $KP, LQ,$ y $MD$ son concurrentes.

3 Sean $n$ y $T$ enteros positivos. James tiene $4n$ canicas con pesos $1$ , $2$ , $\dots$ , $4n$ . Las coloca en una balanza, de modo que ambos platillos tengan el mismo peso. Andrew puede mover una canica de un lado de la balanza al otro, de modo que la diferencia absoluta de los pesos de los dos lados permanezca como máximo $T$ . Halle, en términos de $n$ , el entero positivo mínimo $T$ tal que Andrew pueda hacer una secuencia de movimientos de modo que cada canica termine en el lado opuesto de la balanza, sin importar cómo James haya colocado inicialmente las canicas.

4 Halle todas las sucesiones periódicas $a_1,a_2,\dots$ de números reales tales que las siguientes condiciones se cumplan para todo $n\geqslant 1$ : $$a_{n+2}+a_{n}^2=a_n+a_{n+1}^2\quad\text{and}\quad |a_{n+1}-a_n|\leqslant 1.$$ Propuesto por Dorlir Ahmeti, Kosovo

1 Sea $n$ un entero positivo. Los enteros $1,\,2,\,3,\,\ldots,\,n^2$ deben escribirse en las celdas de un tablero $n\times n$ de modo que cada entero se escriba en exactamente una celda y cada celda contenga exactamente un entero. Para todo entero $d$ con $d\mid n$ , la $d$ - división del tablero es la división del tablero en $(n/d)^2$ sub-tableros no superpuestos, cada uno de tamaño $d\times d$ , tal que cada celda está contenida en exactamente un sub-tablero $d\times d$ . Decimos que $n$ es un número genial si los enteros pueden escribirse en el tablero $n\times n$ de modo que, para cada entero $d$ con $d\mid n$ y $1<d<n$ , en la $d$ - división del tablero, la suma de los enteros escritos en cada sub-tablero $d\times d$ no sea un múltiplo de $d$ . Determine todos los números geniales pares. Propuesto por Melek Güngör, Türkiye KevinYang2.71

2 Determine todas las sucesiones $a_1, a_2, \dots$ de enteros positivos tales que para cualquier par de enteros positivos $m\leqslant n$ , la media aritmética y la media geométrica \[ \frac{a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n}{n-m+1}\quad\text{and}\quad (a_ma_{m+1}\cdots a_n)^{\frac{1}{n-m+1}}\] son ambas enteras.