1 Demuestre que en un triángulo isósceles $ \triangle ABC$ con $ AC=BC=b$ se cumple la siguiente desigualdad $ b> \pi r$ , donde $ r$ es el inradio.

2 Halle todos los pares de enteros positivos $ m$ y $ n$ que satisfacen (ambas) las siguientes condiciones: (i) $ m^{2}-n$ divide a $ m+n^{2}$ (ii) $ n^{2}-m$ divide a $ n+m^{2}$

3 $ 30$ personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. $ 30 - N$ de ellas siempre dicen la verdad ("los que dicen la verdad") mientras que las otras $ N$ a veces dicen la verdad y a veces no ("los que mienten"). La pregunta: "¿Quién es tu vecino de la derecha: "el que dice la verdad" o "el que miente"?" se les hace a las 30 personas y se recogen 30 respuestas. ¿Cuál es el número máximo $ N$ para el cual (conociendo estas respuestas) siempre podemos estar seguros (decidir) acerca de al menos una persona que sea "el que dice la verdad"?

1 $ 8$ estudiantes participaron en un examen que contiene $ 8$ preguntas. Si se sabe que cada pregunta fue resuelta por al menos $ 5$ estudiantes, demuestre que siempre podemos encontrar $ 2$ estudiantes tales que cada una de las preguntas fue resuelta por al menos uno de ellos.

2 Sea $ AD$ la altura del triángulo $ \triangle ABC$ y $ R$ el circunradio. Sean $ E$ y $ F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $ D$ a los lados $ AB$ y $ AC$ . Si $ AD=R\sqrt{2}$ , demuestre que el circuncentro del triángulo $ \triangle ABC$ se encuentra sobre la recta $ EF$ .

3 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x)y \] para todos los $ x,y \in \mathbb{R}$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo tal que la longitud de la bisectriz interior trazada desde $B$ es igual a $s$ . Además, la longitud de la bisectriz exterior trazada desde $B$ es igual a $s_1$ . Halle el área del triángulo $ABC$ si $\frac{AB}{BC} = k$

2 Halle todos los pares de enteros $(x,y)$ tales que $x(x+2)=y^2(y^2+1)$

5 El triángulo $ABC$ es rectángulo tal que $\angle ACB=90^{\circ}$ y $\frac {AC}{BC} = 2$ . Sea la recta paralela al lado $AC$ que interseca a los segmentos $AB$ y $BC$ en $M$ y $N$ tal que $\frac {CN}{BN} = 2$ . Sea $O$ el punto de intersección de las rectas $CM$ y $AN$ . Sobre el segmento $ON$ se encuentra el punto $K$ tal que $OM+OK=KN$ . Sea $T$ el punto de intersección de la bisectriz de $\angle ABC$ y la recta trazada desde $K$ perpendicular a $AN$ . Determine el valor de $\angle MTB$ .

6 El conjunto $A$ tiene exactamente $n>4$ elementos. Ann elige $n+1$ subconjuntos distintos de $A$ , tales que cada subconjunto tiene exactamente $3$ elementos. Demuestre que existen dos subconjuntos elegidos por Ann que tienen exactamente un elemento común.