1 a,b,c>0 y $abc\ge 1$ . Demuestre que: $\dfrac{1}{a^3+2b^3+6}+\dfrac{1}{b^3+2c^3+6}+\dfrac{1}{c^3+2a^3+6} \le \dfrac{1}{3}$

2 Sean $x,y,z$ 3 números reales distintos no iguales a $0$ que satisfacen $x^2-xy=y^2-yz=z^2-zx$ . Halle todos los valores de $\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}$ y de $(x+y+z)^3+9xyz$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sean $D,E,F$ los puntos de contacto de la circunferencia inscrita $(I)$ con $BC,AC,AB$ . Sean $M,N$ puntos de $EF$ tales que $MB \perp BC$ y $NC \perp BC$ . $MD$ y $ND$ cortan a $(I)$ en $D$ y $Q$ . Demuestre que $DP=DQ$ .

4 El líder del país de los Gnomos quiere imprimir billetes de $12$ denominaciones diferentes (cada una con un número entero) de modo que sea posible pagar cualquier cantidad de $1$ a $6543$ con estos billetes sin vuelto, usando un máximo de $8$ billetes. (Durante el pago se pueden usar varios billetes de la misma denominación). ¿Puede el líder de la tierra de los Gnomos lograrlo?

1 Sean $a,b,c \ge 0$ y $a+b+c=3$ . Demuestre que: $2(ab+bc+ca)-3abc\ge \sum_{cyc}^{}a\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}$

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a un círculo. Sea $M$ un punto sobre el lado $AB$ . Sean $I_{1}$ , $I_{2}$ y $I_{3}$ los incentros de los triángulos $AMD$ , $CMD$ y $BMC$ respectivamente. Demuestre que $I_{1}I_{2}I_{3}M$ es circunscriptible.

3 Halle todos los números primos $(p,q)$ tales que : $p^{3}+p=q^{2}+q$ Y_ou-ne_S

4 Hay tres montones de fichas sobre la mesa: el primero contiene $a,$ el segundo contiene $b,$ y el tercero contiene $c$ donde $a \ge b \ge c.$ Los jugadores $A$ y $B$ se turnan jugando un juego de intercambio de fichas. $A$ comienza primero. En cada turno, el jugador al que le toca elige dos montones, luego toma al menos una ficha del montón con el menor número de fichas y las coloca en el montón con el mayor número de fichas. Si el número de fichas en los dos montones que elige es igual, entonces toma al menos una ficha de cualquiera de ellos y la pone en el otro. Si después del movimiento de un jugador solo queda un montón, ese jugador es considerado ganador. ¿Para qué valores de $a, b, c$ quién tiene la estrategia ganadora ( $A$ o $B$ ) ?

1 Si $ a,b,c $ representan las longitudes de los lados de un triángulo, demuestre la desigualdad: $$ 3\le\sum_{\text{cyc}}\sqrt{\frac{a}{-a+b+c}} . $$

2 Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC,$ $\angle CBA,$ y $\angle ACB$ cortan a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los puntos $M,N,$ y $K,$ respectivamente. Los segmentos $AB$ y $MK$ se cortan en el punto $P$ y los segmentos $AC$ y $MN$ se cortan en el punto $Q.$ Demuestre que $PQ\parallel BC$