3 Sea \( n \) un entero positivo. Una función \( f : \{0, 1, \dots, n\} \to \{0, 1, \dots, n\} \) se llama \( n \) - boliviana si satisface las siguientes condiciones: • \( f(0) = 0 \) ; • \( f(t) \in \{ t-1, f(t-1), f(f(t-1)), \dots \} \) para todo \( t = 1, 2, \dots, n \) . Por ejemplo, si \( n = 3 \) , entonces la función definida por \( f(0) = f(1) = 0 \) , \( f(2) = f(3) = 1 \) es 3-boliviana, pero la función definida por \( f(0) = f(1) = f(2) = 0 \) , \( f(3) = 1 \) no es 3-boliviana. Para un entero positivo fijo \( n \) , Gollum selecciona una función \( n \) - boliviana. Smeagol, sabiendo que \( f \) es \( n \) - boliviana, intenta averiguar qué función fue elegida haciendo preguntas del tipo: \[ \text{How many integers } a \text{ are there such that } f(a) = b? \] dado un \( b \) de su elección. Demuestre que si Gollum siempre responde correctamente, Smeagol puede determinar \( f \) y hallar el número mínimo de preguntas que necesita hacer, considerando todas las elecciones posibles de \( f \) .

4 Halle todos los pares de enteros positivos \( (a, b) \) tales que \( f(x) = x \) es la única función \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) que satisface \[ f^a(x)f^b(y) + f^b(x)f^a(y) = 2xy \quad \text{for all } x, y \in \mathbb{R}. \] Aquí, \( f^n(x) \) representa la función obtenida al aplicar \( f \) \( n \) veces a \( x \) . Es decir, \( f^1(x) = f(x) \) y \( f^{n+1}(x) = f(f^n(x))\) para todo \(n \geq 1\) .

1 Sea $n$ un entero positivo. Dado un subconjunto $A$ de $\{0,1,...,5^n\}$ con $4n+2$ elementos. Demuestre que existen tres elementos $a<b<c$ de $A$ tales que $c+2a>3b$ . Propuesto por Dominik Burek y Tomasz Ciesla, Polonia

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\Omega.$ La tangente a $\Omega$ en $D$ corta a los rayos $BA$ y $BC$ en $E$ y $F,$ respectivamente. Se elige un punto $T$ en el interior de $\triangle ABC$ de modo que $\overline{TE}\parallel\overline{CD}$ y $\overline{TF}\parallel\overline{AD}.$ Sea $K\ne D$ un punto del segmento $DF$ que satisface $TD=TK.$ Demuestre que las rectas $AC,DT,$ y $BK$ son concurrentes.

3 Sean $n$ y $k$ dos enteros con $n>k\geqslant 1$ . Hay $2n+1$ estudiantes de pie en un círculo. Cada estudiante $S$ tiene $2k$ vecinos: a saber, los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ por la izquierda, y los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ por la derecha. Suponga que $n+1$ de los estudiantes son chicas, y los otros $n$ son chicos. Demuestre que hay una chica con al menos $k$ chicas entre sus vecinos. Propuesto por Gurgen Asatryan, Armenia

4 Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión infinita de enteros positivos tal que $a_{n+2m}$ divide a $a_{n}+a_{n+m}$ para todos los enteros positivos $n$ y $m.$ Demuestre que esta sucesión es eventualmente periódica, es decir, existen enteros positivos $N$ y $d$ tales que $a_n=a_{n+d}$ para todo $n>N.$

1 Sea $ABCD$ un paralelogramo con $AC=BC.$ Se elige un punto $P$ en la prolongación del rayo $AB$ más allá de $B.$ La circunferencia circunscrita de $ACD$ corta nuevamente al segmento $PD$ en $Q.$ La circunferencia circunscrita del triángulo $APQ$ corta al segmento $PC$ en $R.$ Demuestre que las rectas $CD,AQ,BR$ son concurrentes.

2 ¿Qué enteros positivos $n$ hacen verdadera la ecuación \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left\lfloor \frac{ij}{n+1} \right\rfloor=\frac{n^2(n-1)}{4}\] ?

3 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1,d_2,\ldots,d_k)$ tal que para $i=1,2,\ldots,k$ , el número $d_1+d_2+\cdots+d_i$ es un cuadrado perfecto.

2 Determine todos los enteros $a$ tales que $a^k + 1$ es divisible por $12321$ para algún $k$