1 Sea $ n > 1$ un entero. Halle todas las sucesiones $ a_1, a_2, \ldots a_{n^2 + n}$ que satisfacen las siguientes condiciones: \[ \text{ (a) } a_i \in \left\{0,1\right\} \text{ for all } 1 \leq i \leq n^2 + n; \] \[ \text{ (b) } a_{i + 1} + a_{i + 2} + \ldots + a_{i + n} < a_{i + n + 1} + a_{i + n + 2} + \ldots + a_{i + 2n} \text{ for all } 0 \leq i \leq n^2 - n. \] Autor: Dusan Dukic, Serbia

2 (i) Determine el menor número de aristas que puede tener un grafo de $ n$ nodos dado que añadir una arista nueva arbitraria daría lugar a un 3-clique (3 nodos unidos por pares mediante aristas). (ii) Determine el menor número de aristas que puede tener un grafo de $ n$ nodos dado que añadir una arista nueva arbitraria daría lugar a un 4-clique (4 nodos unidos por pares mediante aristas).

3 Denote por $ M$ el punto medio del lado $ BC$ en un triángulo isósceles $ \triangle ABC$ con $ AC = AB$ . Tome un punto $ X$ en el arco menor $ \overarc{MA}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ \triangle ABM$ . Denote por $ T$ el punto interior del ángulo $ BMA$ tal que $ \angle TMX = 90$ y $ TX = BX$ . Demuestre que $ \angle MTB - \angle CTM$ no depende de la elección de $ X$ . Autor: Farzan Barekat, Canadá

1 Considere aquellas funciones $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisfacen la condición \[ f(m + n) \geq f(m) + f(f(n)) - 1 \] para todo $ m,n \in \mathbb{N}.$ Halle todos los valores posibles de $ f(2007).$ Autor: Nikolai Nikolov, Bulgaria

1 Sea $ A_0 = (a_1,\dots,a_n)$ una sucesión finita de números reales. Para cada $ k\geq 0$ , a partir de la sucesión $ A_k = (x_1,\dots,x_k)$ construimos una nueva sucesión $ A_{k + 1}$ de la siguiente manera. 1. Elegimos una partición $ \{1,\dots,n\} = I\cup J$ , donde $ I$ y $ J$ son dos conjuntos disjuntos, tal que la expresión \[ \left|\sum_{i\in I}x_i - \sum_{j\in J}x_j\right| \] alcanza el valor más pequeño. (Permitimos que $ I$ o $ J$ sean vacíos; en este caso la suma correspondiente es 0.) Si hay varias particiones de este tipo, se elige una arbitrariamente. 2. Fijamos $ A_{k + 1} = (y_1,\dots,y_n)$ donde $ y_i = x_i + 1$ si $ i\in I$ , y $ y_i = x_i - 1$ si $ i\in J$ . Demuestre que para algún $ k$ , la sucesión $ A_k$ contiene un elemento $ x$ tal que $ |x|\geq\frac n2$ . Autor: Omid Hatami, Irán Omid

2 Sea $ ABC$ un triángulo fijo, y sean $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sea $ P$ un punto variable sobre la circunferencia circunscrita. Las rectas $ PA_1$ , $ PB_1$ , $ PC_1$ cortan de nuevo a la circunferencia circunscrita en $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ , respectivamente. Suponga que los puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ son distintos, y que las rectas $ AA'$ , $ BB'$ , $ CC'$ forman un triángulo. Demuestre que el área de este triángulo no depende de $ P$ . Autor: Christopher Bradley, Reino Unido

3 Halle todas las funciones sobreyectivas $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para todo $ m,n \in \mathbb{N}$ y todo primo $ p,$ el número $ f(m + n)$ es divisible por $ p$ si y solo si $ f(m) + f(n)$ es divisible por $ p$ . Autor: Mohsen Jamaali y Nima Ahmadi Pour Anari, Irán

1 Determine $ Q \in \mathbb{R}$ lo suficientemente grande como para que toda sucesión de elementos reales no negativos $ a_1 ,a_2, \ldots$ que satisfaga las dos condiciones siguientes: (i) $ \forall m,n \geq 1$ se tiene $ a_{m + n} \leq 2 \left(a_m + a_n \right)$ (ii) $ \forall k \geq 0$ se tiene $ a_{2^k} \leq \frac {1}{(k + 1)^{2008}}$ cumpla que para cada elemento de la sucesión se tiene la desigualdad $ a_n \leq Q.$

2 Tracey horneó un pastel cuadrado cuya superficie está disectada en una cuadrícula de $ 10 \times 10$ . En algunos de los cuadros quiere poner una fresa de modo que para cada cuatro cuadros que compongan un rectángulo cuyos lados sean paralelos a los bordes del pastel haya al menos una fresa. ¿Cuál es el número mínimo de fresas requeridas?

3 Sea $ ABCD$ un trapecio isósceles. Determine el lugar geométrico de todos los puntos $ P$ tales que \[ |PA| \cdot |PC| = |PB| \cdot |PD|.\]