1 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sea $P$ cualquier punto del interior del segmento $BC$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $BPO$ interseca el segmento $AB$ en el punto $R$ y que la circunferencia circunscrita del triángulo $COP$ interseca $CA$ en el punto $Q$ . (i) Considere el triángulo $PQR$ , demuestre que es semejante al triángulo $ABC$ y que $O$ es su ortocentro. (ii) Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BPO$ , $COP$ , $PQR$ tienen el mismo radio.

2 Dadas varias matrices del mismo tamaño. Dado un entero positivo $N$ , digamos que una matriz es $N$ - equilibrada si las entradas de la matriz son enteros y la diferencia entre cualesquiera dos entradas adyacentes de la matriz es menor o igual que $N$ . (i) Demuestre que toda matriz $2N$ - equilibrada puede escribirse como suma de dos matrices $N$ - equilibradas. (ii) Demuestre que toda matriz $3N$ - equilibrada puede escribirse como suma de tres matrices $N$ - equilibradas.

3 Determine todos los pares $(a,b)$ de enteros distintos de $0$ para los cuales es posible encontrar un entero positivo $x$ y un entero $y$ tales que $x$ sea primo relativo con $b$ y en la siguiente lista haya una infinidad de enteros: $\rightarrow\qquad\frac{a + xy}{b}$ , $\frac{a + xy^2}{b^2}$ , $\frac{a + xy^3}{b^3}$ , $\ldots$ , $\frac{a + xy^n}{b^n}$ , $\ldots$

G1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle ABC > 45^{\circ}$ y $\angle ACB > 45^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABM$ corta de nuevo al lado $AC$ en $X$, y la circunferencia circunscrita del triángulo $AMC$ corta de nuevo al lado $AB$ en $Y$. El punto $P$ está sobre la mediatriz del segmento $BC$, de modo que los puntos $A$ y $P$ están del mismo lado de $XY$, y $\angle YPX = 90^{\circ} + \angle BAC$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BYP$ y $CXP$ son tangentes.

4 Una lista de números $a_1,a_2,\ldots,a_m$ contiene un trío aritmético $a_i, a_j, a_k$ si $i < j < k$ y $2a_j = a_i + a_k$ . Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que los números $1, 2, 3, \ldots, n$ pueden reordenarse en una lista que no contenga tríos aritméticos.

5 Sea $N$ un entero mayor que $1$ . Una baraja tiene $N^3$ cartas; cada carta tiene uno de $N$ colores, una de $N$ figuras y uno de $N$ números (no hay dos cartas idénticas). Una colección de cartas de la baraja es «completa» si tiene cartas de todos los colores, o si tiene cartas de todas las figuras o de todos los números. ¿Cuántas colecciones no completas hay tales que, si se añade cualquier otra carta de la baraja, la colección se vuelve completa?

6 Sea $ABC$ un triángulo y sea $AD$ la bisectriz del ángulo $<BAC$ , con $D$ sobre $BC$ . Sea $E$ un punto del segmento $BC$ tal que $BD = EC$ . Por $E$ trace $l$ , una recta paralela a $AD$ , y sea $P$ un punto de $l$ interior al triángulo. Sea $G$ el punto donde $BP$ interseca a $AC$ y $F$ el punto donde $CP$ interseca a $AB$ . Demuestre que $BF = CG$ .

1 Halle todos los números primos $p, q$ y r con $p < q < r$ , tales que $25pq + r = 2004$ y $pqr + 1 $ es un cuadrado perfecto.

2 Halle el número máximo de enteros positivos tales que cualesquiera dos de ellos $a, b$ (con $a \ne b$ ) satisfacen que $ |a - b| \ge \frac{ab}{100} .$

3 Sean $Z$ y $Y$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ con los lados $AB$ y $CA$ , respectivamente. La recta paralela a $Y Z$ que pasa por el punto medio $M$ de $BC$ corta a $CA$ en $N$ . Sea $L$ el punto de $CA$ tal que $NL = AB$ (y $L$ del mismo lado de $N$ que $A$ ) . La recta $ML$ corta a $AB$ en $K$ . Demuestre que $KA = NC$ .