4 Hay una piedra en cada vértice de un $13$ -ágono regular dado, y el color de cada piedra es negro o blanco. Demuestre que podemos intercambiar la posición de dos piedras de modo que la coloración de estas piedras sea simétrica con respecto a algún eje de simetría del $13$ -ágono.

5 Como se muestra en la figura siguiente, el incírculo de $ABC$ es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente, y $O$ es el circuncentro de $BCI$. Demuestre que $\angle ODB = \angle OEC$. [asy]import graph; size(5.55cm); pathpen=linewidth(0.7); pointpen=black; pen fp=fontsize(10); pointfontpen=fp; real xmin=-5.76,xmax=4.8,ymin=-3.69,ymax=3.71; pen zzttqq=rgb(0.6,0.2,0), wwwwqq=rgb(0.4,0.4,0), qqwuqq=rgb(0,0.39,0); pair A=(-2,2.5), B=(-3,-1.5), C=(2,-1.5), I=(-1.27,-0.15), D=(-2.58,0.18), O=(-0.5,-2.92); D(A--B--C--cycle,zzttqq); D(arc(D,0.25,-104.04,-56.12)--(-2.58,0.18)--cycle,qqwuqq); D(arc((-0.31,0.81),0.25,-92.92,-45)--(-0.31,0.81)--cycle,qqwuqq); D(A--B,zzttqq); D(B--C,zzttqq); D(C--A,zzttqq); D(CR(I,1.35),linewidth(1.2)+dotted+wwwwqq); D(CR(O,2.87),linetype("2 2")+blue); D(D--O); D((-0.31,0.81)--O); D(A); D(B); D(C); D(I); D(D); D((-0.31,0.81)); D(O); MP( "A", A, dir(110)); MP("B", B, dir(140)); D("C", C, dir(20)); D("D", D, dir(150)); D("E", (-0.31, 0.81), dir(60)); D("O", O, dir(290)); D("I", I, dir(100)); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); [/asy]

6 Hay $n$ ciudades y $2$ compañías aéreas en un país. Entre cualesquiera dos ciudades hay exactamente un vuelo de $2$ vías que las conecta, operado por una de las dos compañías. Una matemática planea una ruta de viaje, de modo que comienza y termina en la misma ciudad, pasa por al menos otras dos ciudades, y cada ciudad en la ruta es visitada una vez. Ella descubre que dondequiera que comience y cualquier ruta que elija, debe tomar vuelos de ambas compañías. Halle el máximo valor de $n$.

7 Sea $\{a_n\}$ una sucesión de enteros positivos no decrecientes tal que $\textstyle\frac{r}{a_r} = k+1$ para algunos enteros positivos $k$ y $r$. Demuestre que existe un entero positivo $s$ tal que $\textstyle\frac{s}{a_s} = k$.

8 Halle el número de enteros $k$ en el conjunto $\{0, 1, 2, \dots, 2012\}$ tales que $\binom{2012}{k}$ es un múltiplo de $2012$.

1 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$ tiene exactamente $2011$ soluciones de enteros positivos $(x,y)$ donde $x \leq y$.

2 Las diagonales $AC,BD$ del cuadrilátero $ABCD$ se cortan en $E$. Sean $M,N$ los puntos medios de $AB,CD$ respectivamente. Las mediatrices de los segmentos $AB,CD$ se cortan en $F$. Suponga que $EF$ corta a $BC,AD$ en $P,Q$ respectivamente. Si $MF\cdot CD=NF\cdot AB$ y $DQ\cdot BP=AQ\cdot CP$, demuestre que $PQ\perp BC$.

3 Los números reales positivos $a,b,c,d$ satisfacen $abcd=1$. Demuestre que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{9}{{a + b + c + d}} \geqslant \frac{{25}}{4}$.

4 Un torneo de tenis tiene $n>2$ jugadores y cualesquiera dos jugadores juegan un partido entre sí (no se permiten empates). Después de los partidos estos jugadores pueden ser dispuestos en un círculo, de modo que para cualesquiera tres jugadores $A,B,C$, si $A,B$ son adyacentes en el círculo, entonces al menos uno de $A,B$ le ganó a $C$. Halle todos los valores posibles de $n$.

5 Se da un número real $\alpha \geq 0$. Halle el menor $\lambda = \lambda (\alpha ) > 0$, tal que para cualesquiera números complejos ${z_1},{z_2}$ y $0 \leq x \leq 1$, si $\left| {{z_1}} \right| \leq \alpha \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$, entonces $\left| {{z_1} - x{z_2}} \right| \leq \lambda \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$.