4 Sea $k$ un entero positivo. Halle el valor máximo de \[a^{3k-1}b+b^{3k-1}c+c^{3k-1}a+k^2a^kb^kc^k,\] donde $a$ , $b$ , $c$ son números reales no negativos tales que $a+b+c=3k$ .

1 Sean $m$ y $n$ dos enteros positivos mayores que $1$ . Demuestre que existen $m$ enteros positivos $N_1$ , $\ldots$ , $N_m$ (algunos de ellos pueden ser iguales) tales que \[\sqrt{m}=\sum_{i=1}^m{(\sqrt{N_i}-\sqrt{N_i-1})^{\frac{1}{n}}.}\]

2 Sea $\gamma$ una circunferencia y $l$ una recta de su plano. Sea $K$ un punto sobre $l$ , situado fuera de $\gamma$ . Sean $KA$ y $KB$ las tangentes desde $K$ a $\gamma$ , donde $A$ y $B$ son puntos distintos de $\gamma$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos de $\gamma$ . Las rectas $PA$ y $PB$ intersecan a la recta $l$ en dos puntos $R$ y $S$ , respectivamente. Las rectas $QR$ y $QS$ intersecan por segunda vez a la circunferencia $\gamma$ en los puntos $C$ y $D$ . Demuestre que las tangentes desde $C$ y $D$ a $\gamma$ son concurrentes sobre la recta $l$ .

3 Sean $a_1$ , $\ldots$ , $a_n$ enteros positivos y $a$ un entero positivo mayor que $1$ y divisible por el producto $a_1a_2\ldots a_n$ . Demuestre que $a^{n+1}+a-1$ no es divisible por el producto $(a+a_1-1)(a+a_2-1)\ldots(a+a_n-1)$ .

4 Sea $S$ un conjunto de enteros positivos, cada uno de los cuales tiene exactamente $100$ dígitos en su representación en base $10$ . Un elemento de $S$ se llama átomo si no es divisible por la suma de cualesquiera dos elementos (no necesariamente distintos) de $S$ . Si $S$ contiene a lo sumo $10$ átomos, ¿cuántos elementos puede tener $S$ como máximo?

1 Sea $\Delta ABC$ un triángulo. Las bisectrices interiores de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ intersecan a los segmentos $BC$ y $AC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Demuestre que \[DE\leq (3-2\sqrt{2})(AB+BC+CA).\]

2 Sean $f, g:\mathbb{Z}\rightarrow [0,\infty )$ dos funciones tales que $f(n)=g(n)=0$ con la excepción de una cantidad finita de enteros $n$ . Defina $h:\mathbb{Z}\rightarrow [0,\infty )$ mediante \[h(n)=\max \{f(n-k)g(k): k\in\mathbb{Z}\}.\] Sean $p$ y $q$ dos números reales positivos tales que $1/p+1/q=1$ . Demuestre que \[ \sum_{n\in\mathbb{Z}}h(n)\geq \Bigg(\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)^p\Bigg)^{1/p}\Bigg(\sum_{n\in\mathbb{Z}}g(n)^q\Bigg)^{1/q}.\]

3 Determine todos los conjuntos finitos $S$ de puntos del plano con la siguiente propiedad: si $x,y,x',y'\in S$ y los segmentos cerrados $xy$ y $x'y'$ se intersecan en un solo punto, a saber $z$ , entonces $z\in S$ .

1 Halle todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: para todo primo $p$ , si $n$ es un residuo cuadrático $\mod p$ , entonces $an^2+bn+c$ es un residuo cuadrático $\mod p$ .

2 Sea $n$ un entero positivo. Halle el valor de la siguiente suma \[\sum_{(n)}\sum_{k=1}^n {e_k2^{e_1+\cdots+e_k-2k-n}},\] donde $e_k\in\{0,1\}$ para $1\leq k \leq n$ , y la suma $\sum_{(n)}$ se toma sobre todas las $2^n$ elecciones posibles de $e_1,\ldots ,e_n$ .