5 En una tabla de $100\times 100$ se marcan $110$ cuadrados unitarios. ¿Es siempre posible reordenar filas y columnas de modo que todos los cuadrados unitarios marcados queden por encima de la diagonal principal o sobre ella?

Se dan un real $y>1$ y un entero positivo $n \leq y^{50}$ tal que todos los divisores primos de $n$ no exceden $y$. Demuestra que $n$ es un producto de $99$ factores enteros positivos (no necesariamente primos) que no exceden $y$.

Una pila contiene $2021^{2021}$ piedras. En un movimiento, cualquier pila puede dividirse en dos pilas de modo que los números de piedras en ellas difieran por una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Después de algunos movimientos resultó que el número de piedras en cada pila es una potencia de $2$ con exponente entero no negativo. Demuestra que el número de movimientos realizados fue par.

8 Se da un triángulo acutángulo $ABC$, con $AC \not= BC$. Las alturas trazadas desde $A$ y $B$ se cortan en $H$ e intersecan la bisectriz externa del ángulo $C$ en $Y$ y $X$, respectivamente. La bisectriz externa del ángulo $AHB$ corta a los segmentos $AX$ y $BY$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Si $PX = QY$, demuestra que $AP + BQ \ge 2CH$.

1 Los polinomios $F$ y $G$ satisfacen: $$F(F(x))>G(F(x))>G(G(x))$$ para todo $x$ real. Demuestra que $F(x)>G(x)$ para todo $x$ real.

2 En el trapecio $ABCD$, $M$ es el punto medio de la base $AD$. El punto $E$ está en el segmento $BM$. Se sabe que $\angle ADB=\angle MAE=\angle BMC$. Demuestra que el triángulo $BCE$ es isósceles.

Se dan 3 números reales positivos $a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_k$. Sea $A = \sum_{i = 1}^k a_i, B = \sum_{i = 1}^k b_i$. Demuestra la desigualdad \[ \left( \sum_{i = 1}^k \frac{a_i b_i}{a_i B + b_i A} - 1 \right)^2 \ge \sum_{i = 1}^k \frac{a_i^2}{a_i B + b_i A} \cdot \sum_{i = 1}^k \frac{b_i^2}{a_i B + b_i A}. \]

4 Sea un cuadrado de $n\times n$ (donde $n$ es un entero positivo) que consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Un *camino monótono* en este cuadrado es un camino de longitud $2n$ que comienza en la esquina inferior izquierda del cuadrado, termina en su esquina superior derecha y recorre los lados de los cuadrados unitarios. Para cada $k$, $0\leq k\leq 2n-1$, sea $S_k$ el conjunto de todos los caminos monótonos tales que el número de cuadrados unitarios que quedan debajo del camino deja resto $k$ al dividirse por $2n-1$. Demuestra que todos los $S_k$ contienen el mismo número de elementos.

6 En una tabla de $n\times n$ ( $n>1$ ) se marcan $k$ cuadrados unitarios. Se quiere reordenar filas y columnas de modo que todos los cuadrados unitarios marcados queden sobre la diagonal principal o en ella. ¿Para qué valor máximo de $k$ es siempre posible?

7 igual que en Juniors