3 Sean $a, b, c$ números reales positivos, con $0 < a \leq b \leq c$. Demuestra que para cualesquiera números reales positivos $x, y, z$ se cumple la siguiente desigualdad: \[(ax+by+cz) \left( \frac xa + \frac yb+\frac zc \right) \leq (x+y+z)^2 \cdot \frac{(a+c)^2}{4ac}.\] Amir

4 Sea $x_n=2^{2^{n}}+1$ y sea $m$ el mínimo común múltiplo de $x_2, x_3, \ldots, x_{1971}.$ Encuentra el último dígito de $m.$ Amir

5 Considera una sucesión de polinomios $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x), \ldots$, donde $P_0(x) = 2, P_1(x) = x$ y para todo $n \geq 1$ se cumple la siguiente igualdad: \[P_{n+1}(x) + P_{n-1}(x) = xP_n(x).\] Demuestra que existen tres números reales $a, b, c$ tales que para todo $n \geq 1,$ \[(x^2 - 4)[P_n^2(x) - 4] = [aP_{n+1}(x) + bP_n(x) + cP_{n-1}(x)]^2.\] Amir

6. Sean construidos cuadrados sobre los lados $BC,CA,AB$ de un triángulo $ABC$, todos hacia el exterior del triángulo, y sean $A_1,B_1,C_1$ sus centros. Partiendo del triángulo $A_1B_1C_1$ se obtiene análogamente un triángulo $A_2B_2C_2$. Si $S, S_1, S_2$ denotan las áreas de los triángulos $ABC, A_1B_1C_1, A_2B_2C_2$, respectivamente, demuestra que $S = 8S_1 - 4S_2.$ Amir

7 En un triángulo \(ABC\), sea \(H\) su ortocentro, \(O\) su circuncentro y \(R\) su circunradio. Demuestra que: (a) \(|OH| = R \sqrt{1-8 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma}\) donde \(\alpha, \beta, \gamma\) son los ángulos del triángulo \(ABC\); (b) \(O \equiv H\) si y solo si \(ABC\) es equilátero.

8 Demuestra que para todo entero positivo \(m\) podemos encontrar un conjunto finito \(S\) de puntos en el plano, tal que dado cualquier punto \(A\) de \(S\), hay exactamente \(m\) puntos en \(S\) a distancia unitaria de \(A\).

9 La base de un prisma inclinado es un triángulo $ABC$. La proyección perpendicular de $B_1$, uno de los vértices superiores, es el punto medio de $BC$. El ángulo diedro entre las caras laterales que pasan por $BC$ y $AB$ es $\alpha$, y las aristas laterales del prisma forman un ángulo $\beta$ con la base. Si $r_1, r_2, r_3$ son los exradios de una sección perpendicular del prisma, suponiendo que en $ABC$, $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1$, $\angle A < \angle B < \angle C$, y $BC = a$, calcula $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3.$

10 ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar tres caballos en un tablero de ajedrez para que el número de casillas atacadas sea máximo? Amir

11 Encuentra todos los enteros positivos \(n\) para los cuales el número \(1!+2!+3!+\cdots+n!\) es una potencia perfecta de un entero.

12 Se da un sistema de $n$ números $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tal que \[x_1 = \log_{x_{n-1}} x_n, x_2 = \log_{x_{n}} x_1, \ldots, x_n = \log_{x_{n-2}} x_{n-1}.\] Demuestra que $\prod_{k=1}^n x_k =1.$ Amir