48 Considera 2 circunferencias concéntricas de radios \( R \) y \( r \) ( \( R > r \) ) con centro \( O.\) Fija \( P \) en la circunferencia pequeña y considera la cuerda variable \( PA \) de la circunferencia pequeña. Los puntos \( B \) y \( C \) están en la circunferencia grande; \( B,P,C \) son colineales y \( BC \) es perpendicular a \( AP.\) i.) ¿Para qué valores de \( \angle OPA \) es extremal la suma \( BC^2 + CA^2 + AB^2\)? ii.) ¿Cuáles son las posiciones posibles de los puntos medios \( U \) de \( BA \) y \( V \) de \( AC \) cuando \( \angle OPA \) varía?

49 Sea \( f(n) \) una función definida sobre el conjunto de todos los enteros positivos y con valores en el mismo conjunto. Supón que \( f(f(n) + f(m)) = m + n \) para todos los enteros positivos \( n,m \). Encuentra el posible valor para \( f(1988) \).

50 Demuestra que los números $A$, $B$ y $C$ son iguales, donde: - $A=$ número de formas de cubrir un rectángulo de $2 \times n$ con rectángulos de $2 \times 1$. - $B=$ número de sucesiones de unos y doses que suman $n$. - $C= \sum^m_{k=0} \binom{m + k}{2 \cdot k}$ si $n = 2 \cdot m$, y - $C= \sum^m_{k=0} \binom{m + k + 1}{2 \cdot k + 1}$ si $n = 2 \cdot m + 1$.

51 El entero positivo $n$ tiene la propiedad de que, en cualquier conjunto de $n$ enteros, elegidos de entre los enteros $1,2, \ldots, 1988,$ veintinueve de ellos forman una progresión aritmética. Demuestra que $n > 1788.$

2010.5 En un círculo, los puntos $C$ y $D$ están en el mismo arco definido por el diámetro $[AB]$. Las cuerdas $[BC]$ y $[AD]$ se intersectan en $E$ y $[EF]$ es perpendicular a $AB$. Demuestra que $\angle CFE = \angle DFE$.

52 $ ABCD$ es un cuadrilátero. $ A'BCD'$ es el reflejo de $ ABCD$ respecto a $ BC,$ $ A''B'CD'$ es el reflejo de $ A'BCD'$ respecto a $ CD'$ y $ A''B''C'D'$ es el reflejo de $ A''B'CD'$ respecto a $ D'A''.$ Demuestra que; si las rectas $ AA''$ y $ BB''$ son paralelas, entonces $ ABCD$ es un cuadrilátero cíclico.

53 Dados $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n,$ sin tres colineales, demuestra que el $n$-ágono $A_1 A_2 \ldots A_n$ está inscrito en una circunferencia si y solo si $A_1 A_2 \cdot A_3 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-1} A_n + A_2 A_3 \cdot A_4 A_n \cdot \ldots A_{n-1} A_n \cdot A_1 A_n + \ldots$ $+ A_{n-1} A_{n-2} \cdot A_1 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-3} A_n$ $= A_1 A_{n-1} \cdot A_2 A_n \cdot \ldots \cdot A_{n-2} A_n$, donde $XY$ denota la longitud del segmento $XY$.

54 Encuentra el menor número natural $ n$ tal que, si el conjunto $ \{1,2, \ldots, n\}$ se divide arbitrariamente en dos subconjuntos disjuntos, entonces uno de los subconjuntos contiene 3 números distintos tales que el producto de dos de ellos sea igual al tercero.

55 Supón que $\alpha_i > 0, \beta_i > 0$ para $1 \leq i \leq n, n > 1$ y que \[ \sum^n_{i=1} \alpha_i = \sum^n_{i=1} \beta_i = \pi. \] Demuestra que \[ \sum^n_{i=1} \frac{\cos(\beta_i)}{\sin(\alpha_i)} \leq \sum^n_{i=1} \cot(\alpha_i). \]

56 Dado un conjunto de 1988 puntos en el plano. No hay cuatro puntos del conjunto que sean colineales. Los puntos de un subconjunto con 1788 puntos están coloreados de azul, los 200 restantes de rojo. Demuestra que existe una recta en el plano tal que cada una de las dos partes en las que la recta divide al plano contiene 894 puntos azules y 100 puntos rojos.