Demuestra que para todos los enteros positivos \(n\) se cumple la siguiente desigualdad \[ (2n^2+3n+1)^n \geq 6^n (n!)^2 . \] Chipre Valentín

3 Sean $D$, $E$, $F$ puntos sobre los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$ (distintos de los vértices). Si el cuadrilátero $AFDE$ es cíclico, demuestra que \[ \frac{ 4 \mathcal A[DEF] }{\mathcal A[ABC] } \leq \left( \frac{EF}{AD} \right)^2 . \] Grecia Valentin

4 Para cada entero $n\geq 3$, encuentra el menor número natural $f(n)$ que tenga la propiedad $\star$ Para todo $A \subset \{1, 2, \ldots, n\}$ con $f(n)$ elementos, existen elementos $x, y, z \in A$ que son coprimos por pares. Valentin

1 Un polinomio mediterráneo tiene solo raíces reales y es de la forma \[ P(x) = x^{10}-20x^9+135x^8+a_7x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \] con coeficientes reales $a_0\ldots,a_7$ . Determina el mayor número real que ocurre como raíz de algún polinomio mediterráneo. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

2 Sea $A$ un conjunto finito de reales positivos, sea $B = \{x/y\mid x,y\in A\}$ y sea $C = \{xy\mid x,y\in A\}$. Demuestra que $|A|\cdot|B|\le|C|^2$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

3 Un tetraedro regular de altura \(h\) tiene un tetraedro de altura \(xh\) cortado por un plano paralelo a la base. Cuando el tronco restante se coloca sobre una de sus caras laterales sobre un plano horizontal, está justo a punto de volcarse. (En otras palabras, cuando el tronco restante se coloca sobre una de sus caras laterales sobre un plano horizontal, la proyección del centro de gravedad G del tronco es un punto de la base menor de esta cara lateral.) Demuestra que \(x\) es una raíz de la ecuación \(x^3 + x^2 + x = 2\).

4 Sea $D$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $\angle A$ del triángulo $ABC$. La recta que une los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ corta a $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que $BN$ y $CM$ se cortan sobre la bisectriz $AD$.

Decimos que un número de cuatro dígitos $\overline{abcd}$, que empieza en $a$ y termina en $d$, es intercambiable si existe un entero $n > 1$ tal que $n \times \overline{abcd}$ es un número de cuatro dígitos que comienza con $d$ y termina con $a$. Por ejemplo, $1009$ es intercambiable ya que $1009 \times 9 = 9081$. Encuentra el mayor número intercambiable.

2 ¿Cuántos cuadrados se deben pintar como mínimo en un tablero de $5 \times 5$ para que en cada fila, en cada columna y en cada cuadrado de $2 \times 2$ haya al menos un cuadrado pintado?

4 En un triángulo \(ABC\), sean \(D\) y \(E\) puntos de los lados \(BC\) y \(AC\), respectivamente. Los segmentos \(AD\) y \(BE\) se intersectan en \(O\). Supón que la línea que une los puntos medios del triángulo y es paralela a \(AB\), biseca al segmento \(DE\). Demuestra que el triángulo \(ABO\) y el cuadrilátero \(ODCE\) tienen áreas iguales.