8 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $D$, $A$, $B$, $E$ puntos sobre la recta $AB$, en ese orden, tales que $AC=AD$ y $BE=BC$. Sean $\omega_1, \omega_2$ las circunferencias circunscritas de $\triangle ABC$ y $\triangle CDE$, respectivamente, las cuales se cortan en un punto $F \neq C$. Si la tangente a $\omega_2$ en $F$ corta a $\omega_1$ nuevamente en $G$, y el pie de la altura desde $G$ a $FC$ es $H$, demuestre que $\angle AGH=\angle BGH$. Propuesto por David Stoner

9 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en la circunferencia $\omega$ cuyas diagonales se cortan en $F$. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $E$. El segmento $EF$ interseca a $\omega$ en $X$. Las rectas $BX$ y $CD$ se cortan en $M$, y las rectas $CX$ y $AB$ se cortan en $N$. Demuestre que $MN$ y $BC$ son concurrentes con la tangente a $\omega$ en $X$. Propuesto por Allen Liu

10 Sea $AB=AC$ en $\triangle ABC$, y sea $D$ un punto del segmento $AB$. La tangente en $D$ a la circunferencia circunscrita $\omega$ de $BCD$ corta a $AC$ en $E$. La otra tangente desde $E$ a $\omega$ la toca en $F$, y $G=BF \cap CD$, $H=AG \cap BC$. Demuestre que $BH=2HC$. Propuesto por David Stoner

11 Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles no degenerado con $AB=AC$, y sean $D, E, F$ los puntos medios de $BC, CA, AB$, respectivamente. $BE$ interseca nuevamente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $G$, y $H$ es el punto medio del arco menor $BC$. $CF\cap DG=I, BI\cap AC=J$. Demuestre que $\angle BJH=\angle ADG$ si y solo si $\angle BID=\angle GBC$. Propuesto por David Stoner

12 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo no degenerado con circunferencia circunscrita $\omega$, y sea su circunferencia inscrita $\gamma$ que toca a $AB, AC, BC$ en $X, Y, Z$, respectivamente. Sea $XY$ que corta a los arcos $AB, AC$ de $\omega$ en $M, N$, respectivamente, y sean $P \neq X, Q \neq Y$ los puntos sobre $\gamma$ tales que $MP=MX, NQ=NY$. Si $I$ es el centro de $\gamma$, demuestre que $P, I, Q$ son colineales si y solo si $\angle BAC=90^\circ$. Propuesto por David Stoner

13 En $\triangle ABC$, $AB<AC$. $D$ y $P$ son los pies de las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BAC$, respectivamente. $M$ es el punto medio del segmento $BC$, y $\omega$ es la circunferencia circunscrita de $\triangle APD$. Suponga que $Q$ está en el arco menor $AD$ de $\omega$ tal que $MQ$ es tangente a $\omega$. $QB$ corta nuevamente a $\omega$ en $R$, y la recta que pasa por $R$ perpendicular a $BC$ corta a $PQ$ en $S$. Demuestre que $SD$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle QDM$. Propuesto por Ray Li

14 Sea $O$ un punto (en el plano) y sea $T$ un conjunto infinito de puntos tal que $|P_1P_2| \le 2012$ para cada par de puntos distintos $P_1,P_2\in T$. Sea $S(T)$ el conjunto de puntos $Q$ del plano que satisfacen $|QP| \le 2013$ para al menos un punto $P\in T$. Ahora sea $L$ el conjunto de rectas que contienen exactamente un punto de $S(T)$. Se dice que una recta $\ell_0$ que pasa por $O$ es mala si no existe una recta $\ell\in L$ paralela a (o coincidente con) $\ell_0$. (a) Demuestre que $L$ es no vacío. (b) Demuestre que se puede asignar una recta $\ell(i)$ a cada entero positivo $i$ de modo que para toda recta mala $\ell_0$ que pasa por $O$, exista un entero positivo $n$ con $\ell(n) = \ell_0$. Propuesto por David Yang

1 Halle todas las ternas ordenadas de enteros no negativos $(a,b,c)$ tales que $a^2+2b+c$, $b^2+2c+a$ y $c^2+2a+b$ son todos cuadrados perfectos. Propuesto por Matthew Babbitt

2 ¿Para qué polinomios $P(n)$ con coeficientes enteros se puede asignar un entero positivo a cada punto de la red en $\mathbb{R}^3$ de modo que para todo entero $n \ge 1$, la suma de los $n^3$ enteros asignados a cualquier cuadrícula de $n \times n \times n$ puntos de la red sea divisible por $P(n)$? Propuesto por Andre Arslan

3 Defina un número bello como un entero de la forma $a^n$ , donde $a\in\{3,4,5,6\}$ y $n$ es un entero positivo. Demuestre que todo entero mayor que $2$ puede expresarse como la suma de números bellos distintos entre sí. Propuesto por Matthew Babbitt