Demuestra que para $n>1$ y números reales $a_0, a_1, \dots, a_n, k$ con $a_1 = a_{n-1} = 0$, $|a_0| - |a_n|\leq \sum_{i=0}^{n-2}|a_i - ka_{i+1} - a_{i+2}|.$

Tienes una cuadrícula de $2m$ por $2n$ de cuadrados coloreados de la misma manera que un tablero de ajedrez estándar. Encuentra el número total de formas de colocar $mn$ contadores en cuadrados blancos de modo que cada cuadrado contenga como máximo un contador y no haya dos contadores en cuadrados blancos diagonalmente adyacentes.

Sean $a, b$ enteros positivos tales que $a + b^3$ es divisible por $a^2 + 3ab + 3b^2 - 1$. Demuestra que $a^2 + 3ab + 3b^2 - 1$ es divisible por el cubo de un entero mayor que 1.

Sean los puntos $A, B, C$ en un plano tales que $AB = BC = CA = 6$. En cualquier paso, puedes elegir tres puntos existentes y dibujar el circuncentro de ese triángulo. Demuestra que puedes dibujar un punto tal que su distancia a un punto dibujado previamente sea: $(a)$ mayor que 7 $(b)$ mayor que 2019

Cada uno de los 36 segmentos de línea que unen 9 puntos distintos en un círculo se colorea de rojo o azul. Suponga que cada triángulo determinado por 3 de los 9 puntos contiene al menos un lado rojo. Demuestre que hay cuatro puntos tales que los 6 segmentos que los conectan son todos rojos.

Sea $ P(x,y)$ un polinomio en dos variables $ x,y$ tal que $ P(x,y)=P(y,x)$ para cada $ x,y$ (por ejemplo, el polinomio $ x^2-2xy+y^2$ satisface esta condición). Dado que $ (x-y)$ es un factor de $ P(x,y)$ , demuestre que $ (x-y)^2$ es un factor de $ P(x,y)$ .

Si $ A,B,C,D$ son cuatro puntos en el espacio, tales que \[ \angle ABC=\angle BCD=\angle CDA=\angle DAB=\pi/2, \] pruebe que $ A,B,C,D$ se encuentran en un plano.

Demuestre que un entero positivo es una suma de al menos dos enteros positivos consecutivos si y solo si no es una potencia de dos.

Sea $ AB$ un diámetro de un círculo, $ C$ un punto fijo entre $ A$ y $ B$ en este diámetro, y $ Q$ un punto variable en la circunferencia del círculo. Sea $ P$ el punto en la línea determinada por $ Q$ y $ C$ para el cual $ \frac{AC}{CB}=\frac{QC}{CP}$ . Describa, con prueba, el lugar geométrico del punto $ P$ .

A dos estudiantes de séptimo grado se les permitió entrar a un torneo de ajedrez compuesto por estudiantes de octavo grado. Cada concursante jugó una vez con cada uno de los demás concursantes y recibió un punto por una victoria, medio punto por un empate y cero por una derrota. Los dos estudiantes de séptimo grado juntos obtuvieron un total de ocho puntos y cada estudiante de octavo grado obtuvo el mismo número de puntos que sus compañeros de clase. ¿Cuántos estudiantes de octavo grado participaron en el torneo de ajedrez? ¿Es única la solución?