Suponga que \[ n(n+1)a_{n+1}=n(n-1)a_n-(n-2)a_{n-1} \] para cada entero positivo $ n\ge1$ . Dado que $ a_0=1,a_1=2$ , encuentre \[ \frac{a_0}{a_1}+\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_{50}}{a_{51}}. \]

Dados cuatro pesos en progresión geométrica y una balanza de brazos iguales, muestra cómo encontrar el peso más pesado usando la balanza solo dos veces.

La media geométrica (M.G.) de $k$ enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_k$ se define como la raíz (positiva) $k$ - ésima de su producto. Por ejemplo, la M.G. de 3, 4, 18 es 6. Demuestra que la M.G. de un conjunto $S$ de $n$ números positivos es igual a la M.G. de las M.G.'s de todos los subconjuntos no vacíos de $S$ .

Demuestra que para cada número primo $p$ , hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $p$ divide a $2^n - n$ .

El área de un triángulo está determinada por las longitudes de sus lados. ¿El volumen de un tetraedro está determinado por las áreas de sus caras?

Para cada $r\in\mathbb{R}$ sea $T_r$ la transformación del plano que lleva el punto $(x, y)$ al punto $(2^r x; r2^r x+2^r y)$ . Sea $F$ la familia de todas estas transformaciones (i.e. $F = \{T_r : r\in\mathbb{R}\}$ ) . Encuentra todas las curvas $y = f(x)$ cuyas gráficas permanecen sin cambios por cada transformación en $F$ .

Encuentra todos los enteros positivos $w$ , $x$ , $y$ y $z$ que satisfacen $w! = x! + y! + z!$ .

Diez cajas están dispuestas en un círculo. Cada caja contiene inicialmente un número positivo de pelotas de golf. Un movimiento consiste en tomar todas las pelotas de golf de una de las cajas y colocarlas en las cajas que la siguen en el sentido contrario a las agujas del reloj, colocando una pelota en cada caja. Demuestre que si el siguiente movimiento siempre comienza con la caja donde se colocó la última pelota del movimiento anterior, entonces después de un cierto número de movimientos, volvemos a la distribución inicial de pelotas de golf en las cajas.

Suponga que $m$ y $k$ son enteros positivos. Determine el número de secuencias $x_1, x_2, x_3, \dots , x_{m-1}, x_m$ con $x_i$ un entero para $i = 1, 2, 3, \dots , m$ , $1\le x_i \le k$ para $i = 1, 2, 3, \dots , m$ , $x_1\neq x_m$ , y no dos términos consecutivos iguales.

Determine una familia infinita de cuádruples $(a, b, c, d)$ de enteros positivos, cada uno de los cuales es una solución a $a^4+b^5+c^6=d^7$ .